A matematikában előfordul, hogy nem számokot értelmezett algebrai műveletet szeretnénk végezni. Ilyen például:

• vektorok összeadása
• mátrixok szorzása
• lineáris transzformációk vagy függvények kompozíciója.

Ezen objektumokat a műveletek különböző tulajdonságai alapján akár csoportosíthatjuk is.

Általánosan: <H;művelet[;művelet…]>

Egy S halmaz a rajta értelmezett művelettel félcsoport, ha a halmaz zárt a műveletre nézve és a művelet asszociativ.

példák:

• a pozitív számok az összeadásra nézve félcsoportot alkotnak
• a pozitív valós számok a szorzás művelettel
• az nxn-es mátrixok, a matrixszorzással félcsoportot alkotnak

Egy félcsoportot egysegelemes félcsoportnak (más néven: monoidnak) nevezünk, ha létezik olyan e eleme, hogy .

Például:

• A természetes számok halmaza az összeadással monoid (egységelem a 0)
• A természetes számok halmaza a szorzás művelettel monoid (egységelem az 1)

A (G,) csoport, ha (G,) egységelemes félcsoport, és minden elemének létezik inverzeleme.

Részletezve:

1. (asszociativ)
2. (egysegelemes)
3. (inverzelem)

Ha a csoportművelet kommutatív is, akkor kommutatív-, vagy Abel-csoportról beszélünk.

• (a + kommutatív)

Példák:

• az egész számok, a racionális számok és a valós számok az összeadásra nézve csoportot alkotnak
• a természetes számok halmaza nem csoport.
• az egybevagosagi_transzformaciok a transzformációk szorzásával csoportot alkotnak.

Tétel: A csoport axiómák megadásakor elegendő a bal oldali egység és baloldali inverz létezését megkövetelnünk.

Bizonyítás:

Az axiómák tehát most a következők:

• (1)
• (2)

(2) szerint létezik g₁-nek is baloldali inverze, legyen ez g₂. Ekkor:

• (3)

ami azt jelenti, hogy e jobboldali egység elem is.

Nézzük most az inverz tulajdonságot!

• (4)

Ami épp azt jelenti, hogy g₁ jobboldali inverz is.

Tétel: Bármely csoportban pontosan egy egységelem létezik, azaz az egységelem egyértelmű.

Bizonyítás: A csoport-axiómák miatt van egységeleme a csoportnak. Megmutatjuk, hogy nem lehet több.

Legyen e,f ∈ G egységelem G-ben, ekkor f·e = e·f = f, mert e egységelem. Ugyanakkor e·f = f·e = e, mivel f (is) egységelem. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.

Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük.

Csoportelmélet, Galois-elmélet

A két műveletre nézve gyuru, ha abel-csoport és félcsoport, valamint a + (összeadás) művelet a (szorzat) műveletre nézve disztributív.

Részletezve:

1. (a + asszociatív)
2. (van egység elem)
3. (van inverz elem)
4. (a + kommutatív)
5. (a szorzás asszoiatív)
6. (baloldali disztributivitás)
7. (jobboldali disztributivitás)

Ha a szorzás művelet kommutatív, akkor kommutatív gyűrűről beszélünk. Ha a egységelemes, akkor egységelemes gyűrűről beszélünk. Ha bármely nullától különböző elemek szorzata nem nulla, akkor zérusosztó mentes.

A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük. Az integritástartományok tekinthetők az egész számhalmaz általánosításának is.

A gyűrűk oszthatósági tulajdonságaival a számelmélet foglalkozik.

példa:

• egész számok gyűrűje kommutatív, egységelemes gyűrű
• H halmaz részhalmazai a szimmetrikus-differenciálra és a metszet műveletekre kommutatív-gyűrű
• Az nxn-es mátrixok gyűrűje
• Egészegyüthatós polinomok gyűrűje

A (H,+,.) test, ha a két műveletre gyűrű, (sőt) a második műveletre az „additív inverz” kivételével (H\{e+},.} csoport valamint igazak a jobb- és baloldali disztributív tulajdonságok. (Vedd észre, hogy a kétoldaliság kikötésére azért van szükség, mert a kommutativitást nem követeltük meg.)

A félháló olyan egyműveletes struktúra, amelyben a ∨ művelet kétváltozós, továbbá kommutatív, asszociatív és idempotens.

a parciálisan rendezett halmaz félháló, ha bármely két elemének létezik szuprémuma vagy ha bármely két elemének van infimuma.

A háló olyan kétműveletes struktúra, amelyben (H;∨) és (H;∧) struktúrák félhálók, továbbá a két műveletre igazak az abszorpciós (elnyelési) törvények.

a parciálisan rendezett halmaz háló, ha bármely két elemének van szuprémuma és infimuma.

A két definíció ekvivalens a következő megfeleltetéssel:

Tehát hálóban a két műveletre igazak a következő tulajdonságok:

• idempotens
• kommutatív
• asszociatív
• abszorptív

Ha igaz a két művelet egymásra nézve való disztributás is (mindkettő!), akkor disztributív-hálónak mondjuk.

Az egységelemes vagy más néven korlátos hálóban van legkisebb (0) és legnagyobb (I) elem. Ekkor: -ra igaz, hogy

• , és
• 

Az egységelemes hálóban az elem komplementuma , ha

• és
• , ahol 0, I a két művelet egységelemei.

Egy háló komplementumos, ha minden elemének létezik legalább egy komplementuma. (Megjegyzés: disztributív hálóban egy elemnek legfeljebb egy lehet.)

Egy disztributív komplementumos hálót Boole-algebrának nevezünk.

Részletesen: …

Minden véges elemszámú Boole-algebra elemszáma .

A lánc, vagy más nevén teljesen rendezett halmaz egy olyan parciálisan rendezett halmaz, amelyben minden x,y ∈ L esetén x R y vagy y R x teljesül. (Azaz bármely két elem relációban áll egymással „valamilyen sorrendben”.) Lásd még dichotómia, relációk.

Minden lánc disztributív-háló.

vektortér

Véges testek (Debreceni Egyetem, jegyzet)