Mersenne-számok

Tekintsük a következő számokat:

M₁ = 2¹-1 = 1 nem prím.
M₂ = 2²-1 = 3 prím.
M₃ = 2³-1 = 7 prím.
M₄ = 2⁴-1 = 15 nem prím.
M₅ = 2⁵-1 = 31 prím.
M₆ = 2⁶-1 = 63 nem prím.
M₇ = 2⁷-1 = 127 prím.

De 2047=2¹¹-1=M₁₁ nem prím (osztható 89-cel és 23-mal).

Mersenne-számoknak nevezzük a 2ⁿ-1 alakban felírható számokat. Egyes irodalmakban csak p prím kitevő esetén nevezik a számot Mersenne-számnak: M_p = 2^p-1.

Mersenne-prímek

Mersenne-prímeknek nevezzük a 2ⁿ-1 alakban felírható primszamokat.

Állítás: A M_n=2ⁿ-1 prím, akkor n prímszám.

Bizonyítás: Indirekt bizonyítás: tegyük fel, hogy n=ab összetett szám (a, b > 1). Ekkor $2^n-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1=(2^a)^b-1^b$ , ami osztható 2^a-1-gyel (nevezetes azonosság), ami nagyobb 1-nél, és nem egyenlő a számmal sem, tehát valódi osztó - ami ellentmondás.

Az M₂, M₃, M₅ és M₇ Mersenne-prímeket már az ókorban ismerték. Az M₁₃, M₁₇ és M₁₉ prímeket P. A. Cataldi fedezte fel 1588-ban. Leonhard Euler nevéhez fűződik az M₃₁ Mersenne-prím felfedezése 1750-ben. Több mint 100 éven át ez volt a legnagyobb ismert prím. 1876-ban E. Lucas (1842-1891) megállapította, hogy M₁₂₇ is prím - ez 39 számjegyű:
170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727.

További Mersenne-prímek: M₆₁, M₈₉, M₁₀₇, M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃, M₂₂₈₁,

Mindmáig nem ismert, hogy mely p prímek esetén lesz M_p prím, illetve, hogy végtelen sok Mersenne-prím van-e.

A Mersenne-prímek szoros kapcsolatban állnak az úgynevezett tökéletes számokkal.

Marin Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648) francia matematikus, minorita szerzetes volt, aki 1644-ben megadta az M_p prímek listajat, ahol p ≤ 257. Szerinte p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 eseten kapunk M_p prímeket. De ez p = 67, 257 eseten nem igaz, másreszt kimaradtak a p = 61, 89, 107 prímek, melyekre M_p prímszám.

Nagy prímek keresése

1996-ban indult egy program, a Nagy internetes Mersenne-prím keresés (Great Internet Mersenne Prime Search, GIMPS), melyben ma 240 ezer személyi komputeren fut a kliensprogram, a kutatásban bárki részt vehet. A kutatás akkor fejeződik be, ha valaki megtalálja az első, legalább 100 000 000 számjegyből álló Mersenne-prímet.

2003. november 17-e: a 40. Mersenne-prím M_20996011, ennek 6 320 430 jegye van.

2004. május 15: a 41. Mersenne-prím M_24036583

2005. február 15.: A 42. Mersenne-prím M_25964951, 7 816 230 számjeggyel.

2005. decemberében felfedezték a 43-adik Mersenne-prímet, ez a 2^{30 402 457}-1 szám, amely 9 152 052 számjegyű.

2006. szeptember 4-én fedezték fel a 44-edik Mersenne-prímet, ez a 2^{32 582 657}−1 szám, amely 9 808 358 számjegyű.

2008. augusztus 23-án Edson Smith gépe találta meg a 46. Mersenne-prímet: 2^{43 112 609}-1, ez 12 978 189 jegyű.

2008. szeptember 6-án Hans Michael Elvenich 11 millió 185 272 jegyből álló Mersenne-prímet talált: 2^{37 156 667}

2012. január 25-én Dr. Curtis Cooper találta meg a 48. Mersenne-prímet: 2^{57 885 161}-1, ami 17 425 170 jegyű, így a jelenleg ismert legnagyobb prímszám

Hivatkozások

Más érdekességek a számelmélet témaköréből: