Fermat számok

Tekintsük a p^k+1 alakú számokat:

prím
prím
nem prím
prím
nem prím
nem prím
nem prím
prím

Állítás: Ha k>0 és 2^k+1 prímszám, akkor k kettőhatvány.

Bizonyítás: Ha k=2ⁿm alakú, ahol m páratlan szám, akkor 2^k+1=(2^2^n)^m+1 osztható 2^2^n+1 -gyel (nevezetes azonosság), s így következik, hogy ez maga a szám.

Az f_n = 2^2^n+1 alakú számokat Fermat-számoknak nevezzük.

Fermat prím

Fermat-féle prímeknek nevezzük a p=2^k+1 alakú, pontosabban a 2^2^n+1 alakú prímeket.

A ma ismert fermat prímek:

$f_0 = 2^{2^0}+1 = 3$
$f_1 = 2^{2^1}+1 = 5$
$f_2 = 2^{2^2}+1 = 17$
$f_3 = 2^{2^3}+1 = 257$
$f_4 = 2^{2^4}+1 = 65537$

Pierre Fermat (1601-1665) francia matematikus egy 1640-ben ırott levelében azt a sejtést fogalmazta meg, hogy az f_n számok mind prímek. A sejtést 1732-ben Leonhard Euler cáfolta azzal, hogy megmutatta: $f_5 = 2^{2^4}+1 = 65537 = 641 cdot 6 700 417$ nem prím (Euler 1732)!

A sejtés olyannyira nem igaz, hogy mindmáig nem találtak további Fermat-prímeket, az újabb sejtés, hogy nincs is több.

Fermat prímek és szerkeszthetőség

A Fermat-prímek azért is érdekesek, mert Carl Friedrich Gauss (1777-1855) egy nevezetes eredménye szerint pontosan azok a szabályos n-szögek szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval, amelyekre n egyenlő 2 valamely hatványának és különböző Fermat-prímeknek a szorzatával.

Hivatkozások

Más érdekességek a számelmélet témaköréből: