Mátrixok

Mátrixnak nevezzük a matematikában számok, illetve más matematikai mennyiségek téglalap alakú elrendezését, táblázatát. A mátrix elemei leggyakrabban valamilyen gyűrű, test esetleg vektortér elemei, így értelmezhetővé válnak a mátrixokkal végzett műveletek is, melyeket az elemekkel végzett műveletekre vezetünk vissza.

Mátrixok segítségével leírhatók lineáris egyenletrendszerek, de mátrixok segítségével végzik a grafikai számításokat is.

Bevezetés: a lineáris egyenletrendszer mátrixa

Gabriel Cramer (1704-1752) svájci matematikus fogalmazta meg 1750 körül először általánosan a később róla elnevezett Cramer-szabályt, mely az egyenletrendszer megoldásait az egyenletrendszerből képzett mátrixok determinánsainak segítségével határozza meg. Később Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus ír le egy már korábban is ismert eljárást a lineáris egyenletrendszerek megoldására, melyben szintén az egyenletrendszer együtthatóiból alkotott mátrixon végzett átalakítások játsszák a főszerepet. Ezt az algoritmust ma Gauss-elimináció néven emlegetjük.

Tekintsük a következő egyenletrendszert:

tabular{000}{00}{{2x+3y=5} {2y+x=3}} rbrace Ennek az egyenletrendszernek van egy megoldsa: x = y = 1;

Kicsit módosítva kapjuk a következő egyenletrendszert:

tabular{000}{00}{{2x+4y=5} {2y+x=3}} rbrace Aminek könnyen beláthatóan nincs megoldása, hiszen ha a (2) egyenlőség fennáll, akkor annak mindkét oldalát 2-vel szorozva a 2x+4y=6 egyenlethez jutunk, ami ellentmond (1)-nek.

Az egyenletrendszerben a lényegi információt az együtthatók hordozzák. A változók betűjele mellékes, x és y helyett használhatnánk a és b betűket, vagy bármi mást, szerepük csak annyi, hogy jelöljék, melyik együttható melyik változóra vonatkozik. Ez viszont az együtthatók rögzített sorrendjével is megadható, így például az első egyenletrendszer a következő mátrixszal adható meg (az egyenletrendszer mátrixa):

(matrix{2}{3}{2 3 5 1 2 3}) Az együtthatókat tehát szigorúan a változók egy rögzített sorrendjének megfelelően írjuk a táblázatba (jelen esetben x, y a változók sorrendje).

A szűkebb értelemben vett együttható-mátrix egy négyzetes mátrix: (matrix{2}{2}{2 3 1 2})

A mátrix

$A = ( matrix{3}{3}{a_{11} cdots a_{1n} vdots ddots vdots a_{m1} cdots a_{mn}})$

A mátrix i-edik sorának (i sorindex) j-edik (j oszlopindex) elemét tehát $a_{ij}$ jelöli.

A 1xn-es mátrixokat sorvektornak, az nx1-eseket oszlopvektornak nevezzük.

Az nxn-es mátrixokat négyzetes mátrixoknak nevezzük.

A csupa 0 értéket tartalmazó mátrix a nullmátrix. (jel: N)

Azokat a négyzetes mátrixokat, melyek főátlójában ( $a_{11} cdots a_{nn}$ ) egyesek, többi helyén 0 értékek állnak egységmátrixnak nevezzük. (jel: E)

Mátrixok egyenlősége

Két mátrix egyenlő, ha méretük (dimenzióik) megegyezik és megfelelő elemeik egyenlők.

Mátrixok összege

Összeadni csak két azonos dimenziójú mátrixot lehet, ilyenkor az összegmátrix a tagokkal megegyező típusú, elemei pedig a két tag megfelelő elemeinek összegeként állnak elő, azaz $c_{ij} = a_{ij}+b_{ij}$ .

Példul: (matrix{2}{3}{1 2 5 3 6 9}) + (matrix{2}{3}{4 {-1} 3 0 2 {-3}}) = (matrix{2}{3}{5 1 8 3 8 6})

Az összeadás az elemek közötti összeadás művelet kommutatív és asszociatív tulajdonságát öröklik, valamint a nullmátrix neutrális elem: A+N = A

Mátrix szorzása számmal

Mátrix számszorosa (k) az eredeti mátrix-szal azonos típusú, elemei az eredeti mátrix számszorosai, azaz $c_{ij} = k cdot a_{ij}$ .

Példul: 2 cdot (matrix{2}{2}{3 4 {-1} 6}) = (matrix{2}{2}{6 8 {-2} 12})

Mátrixszorzás

Az A nxm-es mátrix csak olyan B mátrixszal szorozható, melynek mérete mxk, tehát szorzáskor az első tényező oszlopainak száma meg kell egyezzen a második tényező sorainak számával. Az eredmény egy nxk méretű mátrix lesz, melynek elemeit úgy kapjuk, hogy az első tényező megfelelő sorának és a második mátrix megfelelő oszlopának elemeiből szorzatösszeget képzünk, azaz $c_{ij} = sum{l=1}{m}{a_{il} cdot b_{lj}}$

Például:

(matrix{2}{3}{6 2 0 {-1} 4 3}) cdot (matrix{3}{3}{1 2 1 4 {-2} 0 8 0 1}) = (matrix{2}{3}{
{6 cdot 1 + 2 cdot 4 + 0 cdot 8} {6 cdot 2 + 2 cdot (-2) + 0 cdot 0} {6 cdot 1 + 2 cdot 0 + 0 cdot 1}
{(-1) cdot 1 + 4 cdot 4 + 3 cdot 8} {(-1) cdot 2 + 4 cdot (-2) + 3 cdot 0} {(-1) cdot 1 + 4 cdot 0 + 3 cdot 1}
}) = (matrix{2}{3}{14 8 6 36 {-10} 2})

A művelet nem kommutatív (ez már a dimenziókra vonatkozó megkötésekből is következik), de asszociatív.

Az egységmátrix valóban neutrális elem: A cdot E = A , illetve E cdot A = A .(A két egyenlőségben szereplő egységmátrix lehet különböző méretű!)

Ha egy szorzat egyik tényezője nullmátrix, akkor az eredmény is nullmátrix lesz, azaz A cdot N = N , illetve N cdot A = N . (A két esetben lehet N eltérő méretű nullmátrix)

Az állítás megfordítása nem igaz, tehát egy szorzat lehet akkor is nullmátrix, ha egyik tényező sem nullmátrix: (matrix{2}{2}{0 1 0 2}) cdot (matrix{2}{2}{3 5 0 0}) = (matrix{2}{2}{0 0 0 0})

Négyzetes mátrix determinánsa

A determináns (jel: |A| ) a négyzetes mátrixhoz rendelt számérték, melyet a mátrix elemeiből számolhatunk ki a következő rekurzív kifejtési szabály szerint:

Az 1×1-es mátrix determinánsa maga az $a_{11}$ elem.
Nagyobb mátrix determinánsa kiszámítható az $|A| = sum{j = 1}{n}{(-1)^(1+j) cdot a_{1j} cdot A_{1j}}$ , ahol $A_{ij}$ annak az almátrixnak a determinánsát jelöli, amit úgy kapunk, hogy az eredeti mátrixból elhagyjuk az i. sor és a j. oszlop elemeit.

A fenti szabályban a kifejtés az első sor szerint történt. Belátható, hogy a determináns értéke nem változik, ha a kifejtést tetszőleges i. sor, vagy j. oszlop szerint végezzük:

Rögzített i. sor szerinti kifejtés: $|A| = sum{j = 1}{n}{(-1)^(i+j) cdot a_ij cdot A_{ij}}$

Rögzített j. oszlop szerinti kifejtés: $|A| = sum{i = 1}{n}{(-1)^(i+j) cdot a_ij cdot A_{ij}}$

A képletekben szereplő (-1)^(i+j) biztosítja a váltakozó előjelet. Ezt szokás sakktábla szabályként emlegetni:

tabular{11111}{11111}{{+} {-} {+} {-} {-} {+} {-} {+} {+} {-} {+} {-} {-} {+} {-} {+}}

Könnyen beláthatók a következő tulajdonságok:

A mátrix determinánsa (-1)-szeresére változik, ha két sorát, vagy két oszlopát felcseréljük
Ha a mátrixnak van csupa nulla értékű sora vagy oszlopa akkor a determinánsa 0.
Ha a mátrixnak két sora, vagy két oszlopa megegyezik, akkor a determinánsa 0.
Ha egy sort vagy oszlopot k számmal szorzunk, akkor a determináns értéke is k-szorosára változik
A determináns értéke nem változik, ha egy sorához (vagy oszlopához) hozzáadjuk egy másik sorának (vagy oszlopának) tetszőleges számszorosát.
Ha a főátló egyik oldalán minden elem nulla (diagonális mátrix), akkor a determináns a főátlóban álló elemek szorzata.

Lineris egyenletrendszerek megoldása

Tekintsük a következő három ismeretlenes egyenletrendszert:

tabular{0000}{00}{
{2y+x-z=4}
{2x+y-3z=1}
{z-y+x=0}
} rbrace Célunk az tabular{0000}{00}{
{x= cdots}
{y= cdots}
{z= cdots}
} rbrace alak elérése.

A változók sorrendjét rögzítve x_1=x , x_2=x és x_3=z jelölésekkel:

$tabular{0000}{00}{ {x_1+2x_2-x_3=4} {2x_1+x_2-3x_3=1} {x_1-x_2+x_3=0} } rbrace$ amiből a $tabular{0000}{00}{ {1 cdot x_1 + 0 cdot x_2 + 0 cdot x_3= cdots} {0 cdot x_1 + 1 cdot x_2 + 0 cdot x_3= cdots} {0 cdot x_1 + 0 cdot x_2 + 1 cdot x_3= cdots} } rbrace$ formát akarjuk elérni.

Gauss-eliminció

Az egyenlet-rendszert mátrix-szal felírva:

(matrix{3}{4}{1 2 {-1} 4 2 1 {-3} 1 1 {-1} 1 0}) alakból szeretnénk eljutni a (matrix{3}{4}{1 0 0 cdots 0 1 0 cdots 0 0 1 cdots}) alakhoz.

Az egyenletrendszerek megoldása során megengedett lépések megfelelői most is legális lépések, ezért:

tetszőleges sort szorozhatunk nem nulla számmal
sorokat kivonhatunk egymásból
sorokat megcserélhetünk egymással

A célunk tehát, hogy a mátrix utolsó oszlopától eltekintve egységmátrixot kapjunk, ekkor az utolsó oszlopban lévő számok adják az egyenletrendszer megoldását.

Az algoritmus lépései:

válasszunk ki egy olyan sort első sornak, amelyben az első együttható nem nulla (esetleges sorcsere)
osszuk le a sort a nem nulla együtthatóval (sor szorzása számmal)
az egyenlő együtthatók módszeréhez hasonlóan vonjuk ki az első egyenlet megfelelő számszorosait a többi sorból úgy, hogy azokban az első egyűttható nullává váljon. (sor szorzása számmal, sorok kivonása egymásból)
a fenti eljárást ismételjük a 2., 3., majd a további sorokra a 2., 3., majd a további együtthatók kinullázására.

Példánk lépésenként:

(matrix{3}{4}{1 2 {-1} 4 2 1 {-3} 1 1 {-1} 1 0})

(matrix{3}{4}{1 2 {-1} 4 0 {-3} {-1} {-7} 0 {-3} 2 {-4}})

(matrix{3}{4}{1 2 {-1} 4 0 1 {1/3} {7/3} 0 {-3} 2 {-4}})

(matrix{3}{4}{1 0 {-5/3} {-2/3} 0 1 {1/3} {7/3} 0 0 3 3})

(matrix{3}{4}{1 0 {-5/3} {-2/3} 0 1 {1/3} {7/3} 0 0 1 1})

(matrix{3}{4}{1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1})

Cramer szabály

Jelölje A az együtthatók négyzetes mátrixát, x a változók oszlopvektorát, b pedig a konstans tagok oszlopvektorát. Ekkor az egyenletrendszer Ax=b alakban írható fel.

Legyen B_i az a mátrix, melyet A-ból úgy kapunk, hogy az i-edik oszlop helyére b vektor elemeit írjuk.

Ekkor ha |A| != 0 , akkor az egyenletrendszer megoldásait $x_i = {|B_i|}/{|A|}$ képlettel kapjuk.

Bizonyítás:

Legyen az egyenletrendszer egy megoldása x₁, x₂, …, x_n.

Szorozzuk meg az A determináns i-edik oszlopát xi-vel, ezáltal a determináns értéke is xi-szeresére változik. Ezek után adjuk hozzá rendre az i-edik oszlophoz az első oszlop x₁-szeresét, a második oszlop x₂-szörösét, s így tovább, egészen az n. oszlop x_n-szereséig. Eközben a detreminns értéke nem változik. Így tehát a következő determinánshoz jutunk:

$x_i cdot |A| = delim{|}{ matrix{5}{5}{ {a_11} {cdots} {a_11 x_1 + a_12 x_2 + cdots + a_1n x_n} cdots {a_1n} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {a_j1} {cdots} {a_j1 x_1 + a_j2 x_2 + cdots + a_jn x_n} cdots {a_jn} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {a_n1} {cdots} {a_n1 x_1 + a_n2 x_2 + cdots + a_nn x_n} cdots {a_nn} }} {|} = delim{|}{ matrix{5}{5}{ {a_11} {cdots} {b_1} cdots {a_1n} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {a_j1} {cdots} {b_j} cdots {a_jn} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {vdots} {a_n1} {cdots} {b_n} cdots {a_nn} }} {|} = |B_i|$

Amiből xi-t kifejezve kapjuk a megadott képletet.

Geometriai transzformciók

Legyen P(x; y) pont a síkban. Ennek képét megkaphatjuk valamely A 2×2-es mátrixszal való szorzás eredményeként. Az A*p = p' szorzásban p és p' oszlopvektorok.

identitás

I cdot p = (matrix{2}{2}{1 0 0 1}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{x y})

tükrözés X tengelyre

$T_x cdot p = (matrix{2}{2}{1 0 0 {-1}}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{x {-y}})$

tükrözés Y tengelyre

$T_y cdot p = (matrix{2}{2}{{-1} 0 0 1}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{{-x} y})$

középpontos tükrözés az origóra

K cdot p = (matrix{2}{2}{{-1} 0 0 {-1}}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{{-x} {-y}})

Érdemes megjegyezni, hogy a középpontos tükrözés előlál az előző két tengelyes tükrözés szorzataként, ami a megfelelő mátrixokat szorozva is látszik:

$K = T_x cdot T_y = (matrix{2}{2}{1 0 0 {-1}}) cdot (matrix{2}{2}{{-1} 0 0 1}) = (matrix{2}{2}{{-1} 0 0 {-1}})$

tükrözés x=y egyenesre

$T_x cdot p = (matrix{2}{2}{0 1 1 0}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = (matrix{2}{1}{y x})$

origó körüli forgatás

F cdot p = (matrix{2}{2}{{cos alpha} {-sin alpha} {sin alpha} {cos alpha}}) cdot (matrix{2}{1}{x y}) = p'

Érdemes megjegyezni, hogy valamely lineris transzformáció mátrixa előállítható úgy, hogy a mtriy első oszlopába az (1, 0), msodik oszlopba a (0, 1) bázisvektorok képének koordinátáit helyettesítjük. A forgatás esetén példul a szögfüggvények általános definíciója értelmében:

F cdot (matrix{2}{1}{1 0}) = (matrix{2}{1}{{cos alpha} {sin alpha}})

F cdot (matrix{2}{1}{0 1}) = (matrix{2}{1}{{-sin alpha} {cos alpha}})

Néhány további alkalmazás

Sarrus szabály

A 3×3-as mtrixok determinánsának kiszámítására használható, könnyen megjegyezhető kiszmítási mód a következő:

Ismételjük meg a 3×3-as mátrix első és második oszlopát az első három oszlop után, így egy 3×5-ös mátrixot kapunk. Ezek után vegyük a főátlóval párhuzamos 3 átlóban álló elemek szorzatát, majd a három szorzatot adjuk össze. Végezzük el ugyanezt a melléktlóval prhuzamos hrom átló elemeivel is, végül az így kapott két összeget vonjuk ki egymsból.

Például:

(matrix{3}{3}{1 2 1 4 {-2} 0 8 0 1}) right (matrix{3}{5}{1 2 1 1 2 4 {-2} 0 4 {-2} 8 0 1 8 0})

Főátlóval párhuzamos: F = 1*(-2)*1 + 2*0*8 + 1*4*0 = -2

Mellékátlóval párhuzamos: M = 1*(-2)*8 + 1*0*0 + 2*4*1 = -8

A determináns értéke: F-M = (-2)-(-8) = 6

Két pontra illeszkedő egyenes egyenlete determinánssal

Legyen a sík két pontja P(x_1; y_1) és Q(x_2; y_2) . Ekkor a két pontra illeszkedő egyenes egyenlete:

(y-y_1)(x_2-x_1)-(y_2-y_1)(x-x_1)=0 , ami az ismeretlenek szerint rendezve (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0 alakban írható.

Ugyanezt a kifejezést kapjuk az alábbi 3×3-as determináns első sor szerinti kifejtésével is:

$delim{|} {matrix{3}{3}{x y 1 {x_1} {y_1} 1 {x_2} {y_2} 1}}{|}=0$

Az egyenlet az alábbi 2×2-es determináns segítségével is kifejezhető:

$delim{|} {matrix{2}{2}{{x-x_1} {y-y_1} {x-x_2} {y-y_2}}} {|} = 0$

ami kifejtéssel szintén ellenőrizhető.

Háromszög területe determinánssal

Legyen a sík egy háromszögének három csúcspontja A(x_1; y_1), B(x_2; y_2), C(x_3; y_3) . Ekkor az ABC háromszög előjeles területe:

$T = {1/2} delim{|}{ matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} 1 {x_2} {y_2} 1 {x_3} {y_3} 1} }{|}$

Ld. Geometria feladatgyűjtemény II. 783. és 784. feladatok.

1. Ha A pont az origóban van, akkor a terület képlet 1/2*|x2*y3 - x3*y2| a jól ismert háromszög terület képlet szerint.

2. Az általános esetet egy -a=(-x1;-y1) vektorral való eltolással visszavezetjük az előző esetre. Az eltolás után a három pont koordinátái: A(0; 0), B(x2-x1; y2-y1) és C(x3-x1; y3-y1). A fenti képletet alkalmazva rendezés után kapjuk, hogy a hromszög területe: T=1/2*|x1*(y2-y3)+X2*(y3-y1)+x3*(y1-y2)| ami az első oszlop szerint kifejtve épp a fenti determinánssal megadott kifejezéssel egyenlő.

A bizonyításhoz szükséges a $T = {|x_1 y_2 - x_2 y_1|}/2$ háromszögekre vonatkozó területképlet, ahol a(x_1; y_1), b(x_2; y_2) a háromszög két egy csúcsból induló oldalvektora.

Legyen a háromszög három oldala a, b és c. Ekkor a háromszög területe:

$T^2 = -{1/16} delim{|}{ matrix{4}{4}{ 0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0 } }{|}$

A kifejezés pozitív gyöke adja a területet. (Héron képlet)

Három ponttal adott kör egyenlete

Legyen a sík egy körének három pontja A(x_1; y_1), B(x_2; y_2), C(x_3; y_3) . Ekkor a kör egyenlete:

$delim{|}{ matrix{4}{4}{ {x^2+y^2} {x} {y} 1 {x_1^2+y_1^2} {x_1} {y_1} 1 {x_2^2+y_2^2} {x_2} {y_2} 1 {x_3^2+y_3^2} {x_3} {y_3} 1 } }{|} = 0$

Fibonacci sorozat determinánsokkal

Belátható, hogy az n. fibonacci szám előáll egy (n-1)x(n-1)-es mátrix determinánsaként, melynek főátlójában csupa egyes, felette csupa -1, alatta szintén csupa 1 érték áll, többi eleme pedig 0.

F_1 = 1 F_2 = | 1 | = 1 $F_3 = delim{|}{matrix{2}{2}{1 {-1} 1 1}}{|} = 2$ $F_4 = delim{|}{matrix{3}{3}{1 {-1} 0 1 1 {-1} 0 1 1}}{|} = 3$ $F_5 = delim{|}{matrix{4}{4}{1 {-1} 0 0 1 1 {-1} 0 0 1 1 {-1} 0 0 1 1}}{|} = 5$