Vektorok

Irányított szakasz

A sík két pontja meghatározza az őket összekötő szakaszt. Ha a két pontot megkülönböztetjük, egyiket kezdő-, másikat végpontnak nevezzük, akkor irányított szakaszról beszélünk. Az irányított szakasz tehát a sík pontjaiból alkotott rendezett pár.

vec{PQ} in S*S , ahol S a sík pontjainak halmaza.

Két irányított szakaszt ekvivalensnek tekintünk, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és azonos irányításúak. (Két párhuzamos irányított szakasz azonos irányítású, ha a kezdőpontjaikra állított merőleges egyenesek egyikének azonos oldalán vannak.)

Jelölés: vec{AB} ╬ vec{CD}

Az irányított szakaszok körében értelmezett ╬ reláció ekvivalencia reláció, azaz

reflexív:
szimmetrikus: , akkor
tranzitív: , akkor

Mivel a párhuzamosság és a szakasz hosszára vonatkozó egyenlőség önmagában is ekvivalencia reláció, így csak az irányítás azonosságának tulajdonságait kell meggondolni, a tulajdonságok közül is a tranzitivitás az egyetlen, ami nem magától értetődő.

Vektor

Az irányított szakaszok ╬ ekvivalencia reláció által definiált osztályait vektoroknak nevezzük. Két (vagy több) azonos hosszúságú és irányítású szakasz ugyanannak az osztálynak (vektornak) a képviselője (reprezentánsa). Amikor az általuk képviselt osztályokkal műveletet végzünk (pl. két vektort összeadunk), a szerkesztéshez bármelyiküket használhatjuk, ezért ezeket szokás szabad vektoroknak is nevezni.

Koordinátasíkon
A vektor, mint irányított szakasz, abban különbözik a szakaszoktól, hogy valójában két pont kapcsolatát írja le. A vektorok elemi geometriai használata mellett (eltolás jellemzése, más bizonyítások) érthető tehát az ötlet, hogy vektorokat feleltessünk meg pontoknak. Hogy minden pontot egy ponthoz viszonyítsunk, az irányított szakaszok kezdőpontját közösnek választjuk, így jutunk egy ún. vektor-koordinátarendszerhez. Ennek segítségével a már megismert koordinátarendszerbeli problémákat egy új szemszögből vizsgálhatjuk meg. Az irányított szakaszokat a végpontjuk koordinátáival jellemezzük. A már megismert vektorműveleteket is alkalmazhatjuk

Bázisvektorok
Olyan vektorok, melyek lineáris kombinációjával felírhatjuk a sík (tér…) bármely vektorát right generátor rendszer right a tovább már nem szűkíthető rendszert alkotják a bázis vektorok

Bázis vektorok, vektor-felbontás

A sík két nem párhuzamos és nem nulla vektorát bázisnak nevezzük. A bázis normált, ha a két bázis-vektor egységnyi hosszúságú, ortonormált bázis-ról beszélünk, ha emellett merőlegesek is egymásra. Az ortonormált bázis vektorait általában i-vel és j-vel jelöljük, rögzített koordináta-rendszer esetén i az origóból az (1; 0), j a (0; 1) pontba mutató vektor.

A vektor-felbontás tétele kimondja, hogy adott a, b bázis esetén a sík bármely v vektora felírható a bázisvektorok lineáris kombinációjakén, azaz v=ka+mb alakban.

Helyvektor

A koordinátarendszer origójából induló irányított szakaszokat helyvektoroknak nevezzük. A vektorok és a helyvektorok között kölcsönösen egyértelmű (bijektív) megfeleltetés létesíthető: minden vektornak van (pontosan egy) origóból induló reprezentánsa, és minden helyvektor tagja valamely ekvivalenciaosztálynak. A helyvektorokat néha szokták kötött vektoroknak is nevezni.

Egy helyvektort végpontjával, illetve végpontjának koordinátáival adhatunk meg. Így a helyvektorok megfeleltethetők a sík pontjainak, illetve az (a,b) in bbR*bbR rendezett párok halmazának.

A helyvektorok halmaza a valós számtest feletti vektortér. Valójában a vektortér, mint algebrai struktúra a geometriai helyvektor fogalom általánosítása.

Vektorok jellemzői

A vektorokat jellemző három adat az irány, az irányítás és a hossz (nagyság, abszolutérték).

Vektor koordinátái

A v vektor koordinátáinak nevezzük az őt reprezentáló helyvektor végpontjának koordinátáit.

Vektor irányszöge

A vektor irányát a vektor irányszögével, vagy annak valamely szögvüggvényével, általában tangensével adhatjuk meg. Az irányított szög a vektor félegyenesének az x tengely pozitív ágával bezárt irányított szöge.

Az irányszög tangensét irány tangensnek, vagy meredekségnek nevezzük.

Vektor abszolútértéke

A vektor hosszát a vektor abszolútértékének is nevezzük. Jele: |v|.

A pitagorasz_tetel segítségével felírhatjuk a v(x,y) vektor hosszát:

$delim{|}{underline{v}}{|} = sqrt{x^2+y^2}$

Vektor négyzete, azaz önmagával vett skaláris szorzata egyenlő a vektor hosszának négyzetével:

$delim{|} {underline{v}}{|}^2 = {underline{v}}^2$

Műveletek vektorokkal

Vektorok összeadása

A vektorok összeadását és kivonását legkézenfekvőbben eltolások egymásutánjaként értelmezve határozhatjuk meg. Más megközelítésben a vektorok összeadása megfelel az erők eredőjének meghatározásával a fizikában.

Vektorok összeadására két, egymással egyenértékű módszert használhatunk.

Paralelogramma módszer

Vegyük az a és b vektorok egy-egy közös kezdőpontú reprezentánsát (képviselőjét). Legyenek ezek vec{OA} és vec{OB} , az általuk kifeszített paralelogramma negyedik csúcsa pedig C. Ekkor az vec{OC}> irányított szakasz által képviselt c vektort nevezzük az a és b vektorok összegének.

Az összeadás kommutatívitása ebből a megközelítésből azonal adódik.

Egymás után fűzés (lánc-szabály)

Vegyük az a és b vektorok olyan reprezentánsait (képviselőitt), melyek egyikének végpontja a másik kezdőpontjával egyezik meg. Legyenek ezek vec{OA} és vec{AC} . Ekkor az vec{OC}> irányított szakasz által képviselt c vektort nevezzük az a és b vektorok összegének.

A módszer előnye, hogy kiterjeszthető többtagú összegre is, és az összeadás asszociatívitása is könnyen adódik belőle.

Műveleti tulajdonságok

A sík vektorainak halmaza az összeadás művelettel kommutatív csoportot alkot, azaz:

kommutatív művelet: a+b=b+a
asszociatív művelet: (a+b)+c=a+(b+c)
egységelemes a 0 vektorral: a+0=0+a=a
inverzelemes a vektorral: a+(-a)=(-a)+a=0

A koordinátasíkon

Legyen $underline{a}(x_a;y_a)$ és $underline{b}(x_b;y_b)$
ekkor
$underline{a}=x_a cdot underline{i}+y_a cdot underline{j}$ és $underline{b}=x_b cdot underline{i}+y_b cdot underline{j}$

Az összeget felírva

$underline{a}+underline{b}=x_a cdot underline{i}+y_a cdot underline{j} + x_b cdot underline{i}+y_b cdot underline{j}$

Az összeadás kommutativitását és a számmal való szorzás vektorösszeadás feletti disztributását figyelembevéve:

$x_a cdot underline{i} + x_b cdot underline{i}+y_a cdot underline{j}+y_b cdot underline{j}= (x_a + x_b) cdot underline{i} + (y_a + y_b) cdot underline{j} = ((x_a+x_b); (y_a+y_b))$

Összegezve tehát: az összeadás koordinátánként elvégezhető.

Vektorok különbsége

Vektor szorzása számmal

Egy vektort megszorozhatunk egy k valós számmal, ekkor egy vektort kapunk eredményül, melynek abszolútértéke az eredeti |k|-szerese, iránítása azonos az eredetivel, ha k>0, ellentétes, ha k<0. ha k=0, az eredmény a 0.

Vektor ellentettje

Az a vektor ellentetje, (additív) inverze, vagy -1-szerese az a -a-val jelölt vektor, mely csak irányításában tér el a-tól, azaz a-val párhuzamos és egyenlő abszolútértékű, de ellentétes irányú.

Vektorok skaláris szorzata

Egy vektort megszorozhatunk egy másik vektorral, úgy, hogy egy valós számot kapjunk eredményül, ez az úgynevezett skaláris szorzás. Az eredmény a vektorok abszolútértékeinek és az általuk közbezárt szög cosinus-ának szorzatával egyenlő (értéke akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges, vagy az egyik a nullvektor). A skaláris szorzás kommutatív és asszociatív.
Valamint a definícióból adódik, hogy $underline{a} cdot underline{a}={delim{|}{underline{a}}{|}}^2$

A koordinátasíkon
$underline{a}underline{b}=(x_a cdot underline{i}+y_a cdot underline{j})(x_b cdot underline{i}+y_b cdot underline{j})=x_a cdot underline{i} cdot x_b cdot underline{i}+x_a cdot underline{i} cdot y_b cdot underline{j}+y_a cdot underline{j} cdot x_b cdot underline{i}+y_a cdot underline{j} cdot y_b cdot underline{j}$
mivel azok a tagok kiesnek, ahol merőleges vektorok skaláris szorzata szerepel, valamint az egységvektorok önmagukkal alkotott skaláris szorzata 1, így
$underline{a}underline{b}=x_a cdot x_b+y_a cdot y_b$

Vektorok vektoriális szorzata

A harmadik szorzat szintén két vektor szorzata, de eredménye egy vektor, ez a vektoriális szorzat. Az szorzatvektor merőleges a szorzat mindkét tényezőjére, hossza az általuk kifeszített paralelogramma (előjeles) területével egyenlő és irányítása az ún. „jobbkéz-szabály” szertint határozható meg. Jelölése: ab . Ez a művelet asszociatív, de nem kommutatív, habár abc=bca

Vegyes szorzat

Értelmezzük még három vektor vegyesszorzatát is, mely kettő vektoriális szorzata, skalárisan szorozva a harmadikkal: (ab)c , értéke a három vektor által kifeszített paralelepipedon (előjeles) térfogata. Ebben a definícióban a zárójel nem bontható fel, mert a skaláris szorzás nem disztributív a vektoriális szorzatra nézve.

Vektorok abszolútértékének meghatározása

A v vektor abszolútértéke |v| egy olyan derékszögű háromszög átfogójának a hossza, amelyben a befogók hosszúsága: |x| és |y|. Pitagorasz tételt alkalmazva: |v|^2=|v_1|^2+|v_2|^2=(v_1)^2+(v_2)^2 $|v|= sqrt{(v_1)^2+(v_2)^2}$

Egyenesek a koordinátasíkon

- Definíció: Az egyenes normálvektora az egyenesre merőleges vektor, amely nem nullvektor. Jele: n(A; B)

- Definíció: Egy egyenes irányvektora az egyenessel párhuzamos bármely vektor, amely nem nullvektor. Jele: v(v_1; v_2)

- Definíció: Az (xy) koordinátasíkon az egyenes irányszöge az egyenes és az x tengelynek a -90 circ < lambda <= 90 circ intervallumban lévő hajlásszöge.

- Definíció: A koordinátasíkon az egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytengensének nevezzük. Jele: m=tg lambda

Egy egyenes egy normálvektora és egy irányvektora merőleges egymásra.

Egy egyenes iránytangense egy irányvektor második és első koordinátájának hányadosa.

Két egyenes párhuzamossága

-Az irányvektorok párhuzamosak, vagyis egymás skalárszorosai: v' = lambda *v

-A normálvektorok is párhuzamosak, azaz skalárszorosai egymásnak: n' = lambda *n

-Párhuzamos egyenesek irányszögei egyenlők: lambda = lambda '

Két egyenes merőlegessége

-Az egyik egyenes irányvektora és a másik egyenes normálvektora párhuzamosak, így skalárszorosai egymásnak: v' = lambda*n és ez persze fordítva is igaz: n' = lambda * v

-A két egyenes irányvektorai merőlegesek egymásra, csakúgy mint a két egyenes normálvektorai, így az irányvektorok és a normálvektorok skaléris szorzata zérus: vv'=0 és nn'=0.

-Az iránytangensre: v*v'=0 v_1*v_1'+ v_2*v_2'=0 v_1*v_1'=-v_2v_2' ${v_1'} / {v_2'}=-{v_2}/{v_1}$ $1/{v_2'}/{v_1'}=-{v_2}/{v_1}$ 1/m'=-m m'= -1/m

-Az irányszögekre: lambda+(180 circ - lambda' lambda-lambda'+270 circ=180 circ lambda-lambda=-90 circ lambda'-lambda=90 circ lambda'=lambda+90 circ

Az egyenes normálvektoros egyenlete

-Tétel: Adott P0(x0;y0) ponton átmenő, adott n(A; B) normálvektorú egyenes egyenlete: Ax+By=Ax0+By0.

-Bizonyítás: A P(x;y) pont az egyenes egy tetszőleges pontja. A P(x;y) és a P0(x0;y0) pont meghatároz egy vektort (P0P(x-x0;y-y0)), amely az egyenesnek irányvektora, hiszen párhuzamos vele. Ez a vektor és az n(A;B)normálvektor merőlegesek egymásra, így skaláris szorzatuk 0.

…….

Így az egyenes normálvektoros egyenlete: e: Ax+By=Ax0+By0

Az egyenes irányvektoros egyenlete

-Tétel: Adott P0(x0;y0) ponton átmenő, adott v(v1;v2) irányvektorú egyenes egyenlete: v2x-v1y=v2x0-v1y0.

-Bizonyítás: Könnyű dolgunk van, hiszen ismerjük már a normálvektoros egyenletet, illetve az egyenes normálvektorai és irányvektorai közötti összefüggést. A normálvektoros egyenlet: e:Ax+By=Ax0+By0. Az irányvektorból jkönnyen csinálhatunk normálvektort:… Így az egyenes irányvektoros egyenlete:……..

Az egyenes iránytangens egyenlete

-Tétel: Adott P0(x0;y0) ponton átmenő adott m iránytangensű egyenes egyenlete (ha létezik iránytangens): m(x-x0)=y-y0

-Bizonyítás:

Az irányvektoros egyenletből indulunk ki………

Vagyis az iránytangens egyenlet: e:m(x-x0)=y-y0

Két egyenes metszéspontja

Mivel a metszéspont mindkét egyenesnek pontja, a metszéspont koordinátái kielégítik mindkét egyenes egyenletét. Így aztán oylan (X;Y9 számpárt lkeresünk, amely mindkét egyenletnek megoldása. A két egyenes egyenletéből adódó kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldanunk.

Alkalmazás

-Koordinátageometris

-Fizika (erők jelölésére)

-Repülőgép pilóták tájékozódása

Hivatkozások

http://hu.wikipedia.org/wiki/Vektor

Tartalomjegyzék