|
Következő változat
|
Előző változat
|
oktatas:matematika:algebra:strukturak [2019/06/04 12:57]
barnkopf ↷ Page moved from matematika:algebra:strukturak to oktatas:matematika:algebra:strukturak |
oktatas:matematika:algebra:strukturak [2019/06/04 13:30] (aktuális)
barnkopf ↷ Links adapted because of a move operation |
| |
| ===== félcsoport ===== | ===== félcsoport ===== |
| Egy //S// halmaz a rajta értelmezett <m>circ</m> művelettel **félcsoport**, ha a halmaz zárt a műveletre nézve és a művelet [[asszociatív]]. | Egy //S// halmaz a rajta értelmezett <m>circ</m> művelettel **félcsoport**, ha a halmaz zárt a műveletre nézve és a művelet [[oktatas:matematika:algebra:asszociativ]]. |
| |
| példák: | példák: |
| * az //nxn//-es mátrixok, a matrixszorzással félcsoportot alkotnak | * az //nxn//-es mátrixok, a matrixszorzással félcsoportot alkotnak |
| |
| Egy félcsoportot **[[egységelemes]] félcsoport**nak (más néven: **monoid**nak) nevezünk, ha létezik olyan //e// eleme, hogy <m 10>forall a in S: e circ a = a circ e = a</m>. | Egy félcsoportot **[[matematika:algebra:egysegelemes]] félcsoport**nak (más néven: **monoid**nak) nevezünk, ha létezik olyan //e// eleme, hogy <m 10>forall a in S: e circ a = a circ e = a</m>. |
| |
| **Például:** | **Például:** |
| |
| Részletezve: | Részletezve: |
| - <m 10>forall a,b,c in G: (a circ b) circ c = a circ (b circ c)</m> ([[asszociatív]]) | - <m 10>forall a,b,c in G: (a circ b) circ c = a circ (b circ c)</m> ([[oktatas:matematika:algebra:asszociativ]]) |
| - <m 10>exists e in G: forall a in H: a circ e = e circ a = a</m> ([[egységelemes]]) | - <m 10>exists e in G: forall a in H: a circ e = e circ a = a</m> ([[matematika:algebra:egysegelemes]]) |
| - <m 10>forall a in G: exists (a prime): a circ a prime = a prime circ a = e</m> (inverzelem) | - <m 10>forall a in G: exists (a prime): a circ a prime = a prime circ a = e</m> (inverzelem) |
| |
| * az egész számok, a racionális számok és a valós számok az összeadásra nézve csoportot alkotnak | * az egész számok, a racionális számok és a valós számok az összeadásra nézve csoportot alkotnak |
| * a természetes számok halmaza nem csoport. | * a természetes számok halmaza nem csoport. |
| * az [[matematika:geometria:transzformációk:egybevágósági transzformáció]]k a transzformációk szorzásával csoportot alkotnak. | * az [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:egybevagosagi_transzformacio]]k a transzformációk szorzásával csoportot alkotnak. |
| |
| **Tétel:** | **Tétel:** |
| |
| **Tétel:** | **Tétel:** |
| Bármely csoportban pontosan egy [[egységelemes|egységelem]] létezik, azaz az egységelem egyértelmű. | Bármely csoportban pontosan egy [[matematika:algebra:egysegelemes|egységelem]] létezik, azaz az egységelem egyértelmű. |
| |
| **Bizonyítás:** | **Bizonyítás:** |
| |
| ===== gyűrű ===== | ===== gyűrű ===== |
| A <m 10>(H, +, cdot)</m> két műveletre nézve **[[gyűrű]]**, ha <m 10>(H,+)</m> abel-csoport és <m 10>(H, cdot)</m> félcsoport, valamint a + (összeadás) művelet a <m 10>cdot</m> (szorzat) műveletre nézve disztributív. | A <m 10>(H, +, cdot)</m> két műveletre nézve **[[matematika:algebra:gyuru]]**, ha <m 10>(H,+)</m> abel-csoport és <m 10>(H, cdot)</m> félcsoport, valamint a + (összeadás) művelet a <m 10>cdot</m> (szorzat) műveletre nézve disztributív. |
| |
| Részletezve: | Részletezve: |
| példa: | példa: |
| * egész számok gyűrűje kommutatív, egységelemes gyűrű | * egész számok gyűrűje kommutatív, egységelemes gyűrű |
| * H halmaz részhalmazai a [[matematika:halmazok:halmazok#szimmetrikus-differenciál]]ra és a [[matematika:halmazok:halmazok#metszet]] műveletekre kommutatív-gyűrű | * H halmaz részhalmazai a [[oktatas:matematika:halmazok:halmazok#szimmetrikus-differenciál]]ra és a [[oktatas:matematika:halmazok:halmazok#metszet]] műveletekre kommutatív-gyűrű |
| * Az //nxn//-es mátrixok gyűrűje | * Az //nxn//-es mátrixok gyűrűje |
| * Egészegyüthatós polinomok gyűrűje | * Egészegyüthatós polinomok gyűrűje |
| és idempotens. | és idempotens. |
| |
| <m 10>Def_2</m> a <m 10>(H;le)</m> [[matematika:halmazok:reláció#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]] **félháló**, ha bármely két elemének létezik szuprémuma //vagy// ha bármely két elemének van infimuma. | <m 10>Def_2</m> a <m 10>(H;le)</m> [[oktatas:matematika:halmazok:relacio#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]] **félháló**, ha bármely két elemének létezik szuprémuma //vagy// ha bármely két elemének van infimuma. |
| |
| ===== háló ===== | ===== háló ===== |
| <m 10>Def_1</m> A **háló** olyan kétműveletes <m 10>(H;logicaland,logicalor)</m> struktúra, amelyben (H;∨) és (H;∧) struktúrák félhálók, továbbá a két műveletre igazak az abszorpciós (elnyelési) törvények. | <m 10>Def_1</m> A **háló** olyan kétműveletes <m 10>(H;logicaland,logicalor)</m> struktúra, amelyben (H;∨) és (H;∧) struktúrák félhálók, továbbá a két műveletre igazak az abszorpciós (elnyelési) törvények. |
| |
| <m 10>Def_2</m> a <m 10>(H;le)</m> [[matematika:halmazok:reláció#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]] **háló**, ha bármely két elemének van szuprémuma //és// infimuma. | <m 10>Def_2</m> a <m 10>(H;le)</m> [[oktatas:matematika:halmazok:relacio#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]] **háló**, ha bármely két elemének van szuprémuma //és// infimuma. |
| |
| A két definíció ekvivalens a következő megfeleltetéssel: | A két definíció ekvivalens a következő megfeleltetéssel: |
| |
| ===== lánc ===== | ===== lánc ===== |
| A **lánc**, vagy más nevén //teljesen rendezett halmaz// egy olyan [[matematika:halmazok:reláció#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]], amelyben minden x,y ∈ L esetén x R y vagy y R x teljesül. (Azaz bármely két elem relációban áll egymással "valamilyen sorrendben".) Lásd még dichotómia, relációk. | A **lánc**, vagy más nevén //teljesen rendezett halmaz// egy olyan [[oktatas:matematika:halmazok:relacio#Részben rendezési reláció|parciálisan rendezett halmaz]], amelyben minden x,y ∈ L esetén x R y vagy y R x teljesül. (Azaz bármely két elem relációban áll egymással "valamilyen sorrendben".) Lásd még dichotómia, relációk. |
| |
| Minden lánc disztributív-háló. | Minden lánc disztributív-háló. |
| ^ Tulajdonság ^ félcsoport ^ csoport ^ gyűrű ^ test ^ félháló ^ háló ^ Boole-algebra ^ | ^ Tulajdonság ^ félcsoport ^ csoport ^ gyűrű ^ test ^ félháló ^ háló ^ Boole-algebra ^ |
| | az első műveletre nézve: |||||||| | | az első műveletre nézve: |||||||| |
| ^ [[asszociatív]] | x | x | x | x | x | x | x | | ^ [[oktatas:matematika:algebra:asszociativ]] | x | x | x | x | x | x | x | |
| ^ [[egységelemes]] | | x | x | x | | | x(0) | | ^ [[matematika:algebra:egysegelemes]] | | x | x | x | | | x(0) | |
| ^ [[inverzelemes]] | | x | x | x | | | (komplementum) | | ^ [[inverzelemes]] | | x | x | x | | | (komplementum) | |
| ^ [[kommutatív]] | | (Abel) | x | x | x | x | x | | ^ [[kommutatív]] | | (Abel) | x | x | x | x | x | |
| ^ [[idempotens]] | | | | | x | x | x | | ^ [[idempotens]] | | | | | x | x | x | |
| | az második műveletre nézve: |||||||| | | az második műveletre nézve: |||||||| |
| ^ [[asszociatív]] | | | x | x | x | x | x | | ^ [[oktatas:matematika:algebra:asszociativ]] | | | x | x | x | x | x | |
| ^ [[egységelemes]] | | | o | x | | | x(I) | | ^ [[matematika:algebra:egysegelemes]] | | | o | x | | | x(I) | |
| ^ [[inverzelemes]] | | | | x | | | (komplementum) | | ^ [[inverzelemes]] | | | | x | | | (komplementum) | |
| ^ [[kommutatív]] | | | o | o | x | x | x | | ^ [[kommutatív]] | | | o | o | x | x | x | |
| ^ [[idempotens]] | | | | | x | x | x | | ^ [[idempotens]] | | | | | x | x | x | |
| | a két műveletre nézve: |||||||| | | a két műveletre nézve: |||||||| |
| ^ [[disztributív]] | | | x | x | o | o | x | | ^ [[matematika:algebra:disztributiv]] | | | x | x | o | o | x | |
| ^ [[abszorbtiv]] | | | | | x | x | x | | ^ [[abszorbtiv]] | | | | | x | x | x | |
| |
