A téma tárgyalásának lehetséges felépítései:

• Középiskolai felépítés (természetes számokból kindulva a valós számokig, esetleg komplex számokig bővítjük a számfogalmat)
• Történeti áttekintés - a számfogalom fejlődése az őskortól napjainkig.
• Axiomtikus felépítés - A valós számok axiómarendszeréből kiindulva, a többi számhalmazt e halmaz nevezetes részhalmazaiként definiáljuk.

bővebben: számhalmazok

Jele:
Pozitív egész számok és a 0.

Jele:
Természetes számok, és a negatív egész számok.

Jele:
Azon számokat tartalmaz, amik felírhatók két egész szám hányadosaként.

Az algebrai számok olyan valós vagy komplex számok, amelyek gyökei valamely racionális együtthatós, nem csupa nulla polinomnak.

A nem racionális valós számokat irracionális számoknak nevezzük. Jele: ^*

Állítás: nem racionális szám, azaz irracionális.

Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört.

Az irracionális számok halmaza két diszjunkt részhalmazara bontható:

• Algebrai irracionális számok: olyan irracionális szám, amely gyöke egy egész együtthatójú, nem csupa nulla polinomnak. (Pl: ) Ezek az euklideszi szerkesztési lépésekkel szerkeszthetőek.
• Transzcendens számok: Nem algebrai valós számok.

A racionális és irracionális számok halmazának egyesítését, azaz az egyenes pontjaihoz rendelt számok halmazát nevezzük valós számhalmaznak. Jele: ^*

A valós számok halmazának fő tulajdonságait axiómákkal írjuk körül.

Jele:

számosság

A természetes számokat talán be lehetne úgy vezetni, hogy a megszámlálható halmazok számosságát nevezzük természetes számoknak (nemtudom ez mennyire precíz? [Coldfire]

Ez kicsit a tyúk meg a tojás esete: mit is nevezel megszámlálható halmaznak? Ami ekvivalens a természetes számok valamelyrészhalmazával :) Ha már nagyon precízkedni akarunk, akkor valami ilyesmi: 0 - Az üres halmaz (0) számossága 1 - Az üres halmazt mint elemet tartalmazó halmaz, azaz {0} számossága (az üres halmaz hatványhalmaza) 2 - {0,{0}} számossága 3 - {0,{0},{0,{0}}} számossága Általában az n. halmaz tartalmazza az n-1. halamz elemeit és még az n-1. halmazt magát is. Az így konstruálható halamzok számossága alkotja a természetes számok halmazát… De azért ezt a gondolatot nem vinném tovább :)
Más megközelítésben ezeket a halmazokat magukat nevezik 0,1,2…-nek. Ekkor persze a műveletek értelmezése jóval nehezebb… [bb]

Sulineten volt azthiszem). Meg szerintem az összeadást meg szorzást lehetne értelmezni egzaktabbul (azaz egyáltalán értelmezni; diszjunkt halmazok uniójának és Descartes-szorzatának számosságával). [Coldfire]

Hát lehet próbálkozni, igen. :) [bb]

A halmazok számosságával az lesz a baj, hogy ha rendesen akarjuk tárgyalni akkor már bőven kimutat a középiskolai tananyagból a dolog, ha meg nem akkor kb. nincs semmi értelme és rövid is. Mindenesetre itt egy kis segédanyag (az index oldalt nem találtam :): http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/halmaz99/ Tételnek pedig a kontinuum-hipotézis belátását ajánlom az experteknek ;) [Coldfire]

A meglátás helyes, valóban nagyon messze mutat a számosságok világa. A fenti anyag is egyetemi jegyzet. A kontinuum hipotézis bizonyítása meg csak megfelelő modell kérdése :) Lásd: http://www.renyi.hu/~csirmaz/forszol/xf1.ps [bb]