3. Nevezetes ponthalmazok a síkban

Kúpszeletek

Állítás: Az f: x → 1/x függvény grafikonja (y=1/x egyenletű görbe) hiperbola, melynek fókuszpontjai $F_1(sqrt{2},sqrt{2})$ és $F_2(- sqrt{2},- sqrt{2})$ , nagytengelye 2a=2 sqrt{2} .

Bizonyítás: Legyen a görbe egy pontja a P(x,1/x) pont.

Megmutatjuk, hogy $forall x<>0: ~ delim{|}{F_1P-F_2P}{|}=2a$ .

Vegyük mindkét oldal négyzetét és bontsuk fel a baloldali zárójelet: $overline{F_1P}^2+overline{F_2P}^2-2 overline{F_1P}overline{F_2P}=8$ .

Felhasználva, hogy $F_1P=sqrt{(x-sqrt{2})^2+(1/x-sqrt{2})^2}$ , illetve $F_2P=sqrt{(x+sqrt{2})^2+(1/x+sqrt{2})^2}$ egyenletünk a következő képp alakul:

$(x-sqrt{2})^2+(1/x-sqrt{2})^2+(x+sqrt{2})^2+(1/x+sqrt{2})^2 - 2sqrt{(x-sqrt{2})^2+(1/x-sqrt{2})^2}sqrt{(x+sqrt{2})^2+(1/x+sqrt{2})^2}=8$

A zárójeleket felbontva, közös gyökjel alá hozva:

$2x^2+2 1/{x^2}+8-2 sqrt{x^2+1/{x^2}+4-2 sqrt{2}(x+1/x)} sqrt{x^2+1/{x^2}+4+2 sqrt{2}(x+1/x)}=8$

Mindkét oldalból kivonunk 8-at, egyszerűsítünk kettővel és a gyökös kifejezésre alkalmazzuk az (a-b)(a+b)=a²-b² azonosságot:

$x^2+1/{x^2}-sqrt{(x^2+1/{x^2}+4)^2-(2 sqrt{2}(x+1/x))^2}$

A gyökös kifejezést a jobb oldalra rendezzük, majd négyzetreemelünk:

$(x^2+1/{x^2})^2=(x^2+1/{x^2}+4)^2-8(x+1/x)^2$

Felhasználva, hogy $(x+1/x)^2=x^2+1/{x^2}+2$ , az $x^2+1/{x^2} = A$ helyettesítéssel:

A^2 = (A+4)^2-8(A+2) , ami a zárójelek felbontása után jól láthatóan azonosság.