EZ A CIKK CSONK!          
 -----------------------------------

10. Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonítás, konvergencia), nevezetes számsorozatok

Sorozatok fogalma

Sorozatokkal már egész korán, az általános iskolai tanulmányok során találkozhattunk. Ki ne emlékezne olyan példákra, melyben egy pár taggal megadott számsor képzési szabályát kellett meghatározni.

A középiskolában az általános iskolai szemléletes fogalmat pontos definíció váltotta fel. Ezután a sorozatokra, mint a függvények egy speciális csoportjára tekintettünk.

Sorozatok megadása

A precíz definíció bevezetése után a sorozatok megadására használt korábbi módszer - mely szerint a sorozatot az első néhány taggal adjuk meg - szintén nem állja meg a helyét. A sorozatok megadására a függvények megadására vonatkozó feltételek vonatkoznak, annyi könnyebbséggel, hogy az értelmezési tartomány adott, így ennek megadásától eltekinthetünk.

A leggyakrabban sorozatok megadása két módon történhet:

Sorozatok tulajdonságai

A sorozatok tulajdonságai alapvetően a függvények tulajdonságainak speciális esetei, átfogalmazásai, bár kisebb különbségek lehetnek köztük (pl. határérték).

Korlátosság

Monotonitás

Konvergencia

A rendőr elv

Tétel:Ha (a_n) right A, (c_n) right A és forall n in bbN^{+}: a_n<=b_n<=c_n, akkor (b_n) right A.

Megjegyzés: Az utolsó feltétel helyett valójában elegendő, ha egy bizonyos küszöbindextől kezdeve teljesül az egyenlőtlenség, tehát:
exists N in bbN^{+}: forall n in bbN, n > N: a_n<=b_n<=c_n

Bizonyítás:
Az (an) sorozatra a konvergencia definíciója miatt igaz, hogy:
forall epsilon>0 exists N_1: n>N_1 doubleright delim{|}{a_n-A}{|}<epsilon
Ugyanígy (cn)-re is:
forall epsilon>0 exists N_2: n>N_2 doubleright delim{|}{c_n-A}{|}<epsilon
Legyen ekkor N=max(N_1,N_2) (a kettőből a nagyobb). Ekkor n>N esetén mindkét feltétel teljesül, azaz delim{|}{a_n-A}{|}<epsilon és delim{|}{c_n-A}{|}<epsilon

Tudjuk továbbá, hogy a_n<=b_n<=c_n. Vonjunk ki A-t:
a_n-A<=b_n-A<=c_n-A

a definíciókban lévő abszolútérték felbontásából:
delim{|}{a_n-A}{|}<epsilon doubleright -epsilon<a_n-A<epsilon és: delim{|}{c_n-A}{|}<epsilon doubleright -epsilon<c_n-A<epsilon
Amiből ebből fontos, hogy: -epsilon<a_n-A és c_n-A<epsilon; Ezt visszaírjuk az 5 sorral feljebbi egyenlőtlenségbe:
-epsilon<a_n-A<=b_n-A<=c_n-A<epsilon ,ha n>N azaz: -epsilon<b_n-A<epsilon
ami egyenelő: delim{|}{b_n-A}{|}<epsilon  ,ha n>N
Ami annyit jelent, hogy (bn) konvergens és a határértéke A.

Pár dolgot belejavítottam, de még kell lehet rajta finomítani… [bb]

Nevezetes sorozatok

Számtani sorozatok

Mértani sorozat

Fibonacci-féle sorozat

Alkalmazások

  • A pi közelítése
  • Kamatszámítás (mértani sorozatokkal)

Szilágyi Kristóf 2007/05/13 11:42

oktatas/matematika/szobeli/2007/10.txt · Utolsó módosítás: 2012/08/28 12:06 (külső szerkesztés)
CC Attribution-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0