14. Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei

Két oldalfelező pontot összekötő szakasz.

Párhuzamos és feleakkora, mint az oldal…

Bizonyítás elemi úton, vagy vektorokkal…

A két csúcstól egyenlő távol lévő pontok halmaza ⇒ egy pontban metszik egymást (térben megfelelője az élfelező sík)

(térben megfelelője a tetraéder beírt gömbje)

A két szögszártól egyenlő távol lévő pontok halmaza ⇒ egy ponton mennek keresztül

T: Az oldalfelező merőleges a szögfelező a körülírt körön metszi egymást.

Itt tartalékba el lehet tárolni még rengeteg összefüggést (Az érintési pontok által meghatározott szakaszok hossza (s-a, a-b,….), két körközéppont és megfelelő két csúcs egy körön van (pl. OcACOa, vagy OoAObC) stb…

haromszög

A magasságponthoz kapcsolódó tételek is inkább az érdekesség kategoriájába tartoznak.

Pl:

• A magasságpont oldalakra illetve oldalfelező pontokra vett tükörképe a körülírt körön van.
• Minden magasságponton átmenő egyeneshez tartozik egy körülírt köri pont, melyen az egyenes minden oldalra vonatkozó tükörképe átmegy.

De inkább a területszámításban betöltött szerepéről kell beszélni, keletkező derékszögű háromszögekről, meg arról, hogy hova kerül hegyes/derék/tompaszögű háromszögben a magasságpont…

A körülírt kör bármely P pontjánból az oldalakra állított merőlegesek talppontjai egy egyenesre esnek.

Ezek viszont inkább már határeset kategoriába esnek. De érdekesek. És az fontos. Az apolloniusz kör inkább nevezetes ponthalmaz. A cheva és meneláosz tételek meg vagy együtt, vagy egyik se…

• ceva tétel
• menelaosz tétel
• apollóniusz kör

Esetleg nevezetes még a speciális háromszögek esetén alkalmazott néháyn elnevezés (befogó, átfogó, szár, alap, thales-kör) - ha akarod megemlíthető, de nem kell.