Gyökvonás, gyökfüggvények, hatványfüggvények és tulajdonságaik

Négyzetgyök Fogalma

Def.: - sqrt{a} az a nemnegatív valós szám, melynek négyzete a.

Az a nem negatív valós szám négyzetgyöke az a b nem negatív valós szám, melyre .

A definíció fontos következménye, hogy negatív szám négyzetgyökét nem értelmezzük a valós számok halmazán. Negatív szám négyzetgyökének értelmezése a számfogalom bővítését teszi szükségessé (komplex számok).

$sqrt{a^2}=|a|$ , és általában $sqrt{a^{2k}}=a^k$ ha k páros, és $sqrt{a^{2k}}=|a^k|$

A Négyzetgyökvonás Azonosságai
a;b;n in bbR^+

${(sqrt{a})}^n=sqrt{a^n}$

Azonosságok Bizonyítása

Azt használjuk fel, hogy ha két pozitív valós szám négyzete egyenlő, akor a két szám is egyenlő, valamint hogy az x right sqrt{x} függvény szigorúan monoton növekvő a nem negatív számok halmazán

${(sqrt{a}*sqrt{b})}^2={(sqrt{a})}^2*{(sqrt{b})}^2=a*b=sqrt{{(a*b}}^2}~~~~sqrt{a}*sqrt{b}=sqrt{a*b}$
${sqrt{a}/sqrt{b}}^2={sqrt{a}}^2/{sqrt{b}}^2=a/b={sqrt{a/b}}^2~~~~sqrt{a}/sqrt{b}=sqrt{a/b} b<>0$
${(sqrt{a})}^n={sqrt{a}*sqrt{a}*...*sqrt{a}}under{n db}={sqrt{a*a*...*a}}under{n db}=sqrt{a^n}$ ${({(sqrt{a})}^n)}^2=sqrt{a}^{2n}={({(sqrt{a})}^2)}^n=a^n$

N-edik Gyök Fogalma

Def.:Legyen a valós szám, n>=2 egész szám.Ekkor root{n}{a}
- páros n kitevő esetén az a nem negatív valós szám, melynek n-edik hatványa $a~~(a>=0)~~({(root{2y}{a})}^{2y}=a)$
- páratlan n kitevő esetén az a valós szám, melynek n-edik hatványa $a~~(a in bbR)~~({(root{2y+1}{a})}^{2y+1}=a)$

N-edik Gyökvonás Azonosságai
(páros n kitevő esetén)

${(root{n}{a})}^k=root{n}{a^k}~~~a>0,~~n in bbN,~~n>=2,~~k in bbZ$
$root{n}{a^k}=root{nm}{a^{km}}~~~a>0,~~n,m in bbN,~~n,m>=2,~~m in bbZ$

Azonosságok Bizonyítása

Az x right x^n és x right root{n}{x} függvények is szigorúan monoton növekvőek a nemnegatív számok halmazán, ezért megtehetjük, hogy az egyenlőség két oldalán álló kifejezések n-edik hatványát hasonlítjuk össze.

${(root{n}{a}*root{n}{b})}^n=((root{n}{a})}^n*{(root{n}{b})}^n=a*b={(root{n}{ab})}^n$
${(root{n}{a}/root{n}{b})}^n={(root{n}{a})}^n/{(root{n}{b})}^n=a/b={(root{n}{a/b})}^n$
${({(root{n}{a})}^k)}^n={(root{n}{a})}^{kn}={({(root{n}{a})}^n)}^k=a^k={(root{n}{a^k})}^n$
${(root{n}{root{k}{a}})}^{nk}={({(root{n}{root{k}{a}})}^n)}^k={(root{k}{a})}^k=a={(root{nk}{a})}^{nk}$
${(root{n}{a^k})}^{nm}=({({root{n}{a^k})^n})}^m=(a^k)^m=a^{km}={(root{nm}{a^{km}})}^{nm}$

Gyökfüggvények

Tekintsük meg a nem ngatív valós számok halmazán értelmezett ~f(x)=sqrt{x} függvényt.

kép

A függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.0-tól + infty -ig szigorúan monoton növkvő.Zérushelye az x=0 -ban van.
az f(x)=sqrt{x} és a g(x)=x^2~~(x>=0) egymásnak inverz függvénye.Grafikus képük az y=x függvényre tengelyesen szimmetrikus.
(Ha valamely függvénybeli hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, megtehetjük, hogy az értékkészlet és az értelmezési tartomány szerepét felcseréljük.Ekkor egy új függvényhez jutunk, melyet az eredti függvény inverzfüggvényének nevezünk.)

Ha n>=2 és páros: Az f(x)=root{n}{x} fügvény értelmzési tartománya a nem negatív valós számok halmaza, és értékkészlete szintúgy.A függvény 0-tól + infty -ig szigorúan monoton növekvő, zérushelye x=0 -ban van.Inverze az x right x^n~~(x>=0) függvény.

kép

Ha n>1 és páratlan: a g(x)=root{n}{x} függvény értelmezési tartománya és értékkészlete a valós számok halmaza.A függvény - infty -től + infty -ig szigorúan monoton nő, zérushelye x=0 -ban van,szélsőértéke nincs.Mivel minden x-re g(x)=-g(-x) , ezért az gyökfüggvény páratlan n esetén paritását tekintve páratlan függvény.Grafikus képe az origóra középpontosan szimmetrikus.Inverze az x right root{n}{x} függvény.

kép

Ha n=1 , akkor x right root{n}{x} függvény grafikus képe egyenes, mely - infty -től + infty -ig szigorúan monoton nő, zérushelye x=0 -ban van.

Hatványfüggvények

Definiáljuk a valós számok halmazán értelmezett f(x)=x^n hatványfüggvényt.

Ha n=0 , akkor konstans függvényt kapunk, amely az y tengely a (0;1) pontban metszi.

Ha n=1 , akkor grafikus képe egyenes, mely - infty -től + infty -ig szig. mon. növekszik, zérushelye x=0 -ban van.

Ha n<0 , akkor a függvény grafikus képe hiperbola-szerű, ha n=-1 , hiperbola.

Ha n=2 , akkor akkor a függvény grafikus képe parabola.Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.Zérushelye x=0 -ban van. - infty -től -ig szig. mon. csökken, -tól + infty -ig szig. mon. nő.Globális minimuma van x=0 -ban, értéke 0.Inverze: x right sqrt{x} ( x>=0 esetén)

kép

Általában az f(x)=x^n függvényt n-ed fokú hatványfüggvénynek nevezzük.

Ha n páros, akkor az értelmezési tartomány minden x elemére f(x)=f(-x) , tehát a függvény paritását tekintve páros, grafikonja az y tengelyre tengelyesen szimmetrikus.Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.Zérushelye x=0 -ban van. - infty -től -ig szig. mon. csökken, -tól + infty -ig szig. mon. nő.Globális minimuma van x=0 -ban, értéke 0.Inverze: x right root{n}{x} ( x>=0 esetén)

kép

Ha n páratlan, akkor az értelmezési tartomány minden x elemére f(x)=-f(-x) , tehát páratlan függvény, képe az origóra középpontosan szimmetrikus.Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza.Zérushelye x=0 -ban van. - infty -től + infty -ig szig. mon. nő.Szélsőértéke nincs, x=0 -ban konvexitást vált, azaz ez a pont inflexiós pont.Inverze: x right root{n}{x}

kép

Jelentősége/Alkalmazása

Fizikában,Geometriában, mindennapi életben (paraboaltükör, parabola antenna)