Függvények segítségével két halmaz elemeinek kapcsolatát írhatjuk le. Ennek általában akkor van jelentősége, ha az egyik halmaz elemeinek változását a hozzárendelt elemek változása valamilyen rendszerben követi (nem sokat mond pl. ha valamilyen módon a kutyákhoz rendeljük gazdájukat, igen nagy viszont a jelentősége, ha Mendgyelejev igen hiányos periodusos rendszerére gondolunk, s a jósolt fizikai tulajdonságokra, melyek pont a tendenciózus változásokon alapultak). Ezt leggyakrabban grafikonon szoktuk szemléltetni, mivel a sík pontjait 2 koordinátával reprezentálhatjuk , ami igen alkalmas erre. Legyen ugyanis az első halmaz a függvény értelmezési tartománya, a második pedig a képhalmaz. (DEF). Ekkor az első koordináta változása és a második koordináta változása közötti kapcsolatot jelenítjük meg a grafikonban vizuálisan.

Ezt a módszert a hétköznapi életben is használjuk, pl. kórházakban ilyenek a lázgörbék. Meg kell azonban említeni, hogy ez nem teljesen korrekt ábrázolás, hiszen azt feltételezi, hogy a beteg hőmérséklete bizonyos időintervallumokon belül lineárisan változik, ami nyilván nem igaz. Mégis hasznos az adatok ilyen megjelenítése, hiszen a tendencia, a lázas állapotok időpontja és súlyossága egy szempillantás alatt áttekinthető, szemben azzal a táblázattal, melyben számadatok sokasága követi egymást.

Tekintsük most az egyenleteket. A feladat, hogy azonos változók helyére azonos értékeket helyettesítve a kívánt egyenlőség teljesüljön. Szorítkozzunk most csupán az egyváltozós függvényekre. Készítsünk két függvényt, mely az egyenlet alaphalmazán értelmezett, s mely ennek elemeihez a jobb (illetve bal) oldal helyettesítési értékeit rendeli. Nyilván akkor teljesül az előzőekben megfogalmazott feltétel, ha ugyan ahhoz az értékhez ugyanazt rendeli a két függvény. Ez vizuálisan azt jelenti, hogy a két grafikon metszéspontjá(i)t keressük. A keresett gyök(ök) ezen pont(o)k x koordinátája(i) (abszcisszái). Az ordináták (második koordináták) pedig a megfelelő helyettesítési érték(ek), ezt kell visszakapnunk az ellenőrzés során, amikor behelyettesítjük a gyökö(ke)t.

Meg kell említeni a módszer korlátait is. Irracionális gyökök leolvasása nyilván elvi lehetetlenség, de adott esetben racionális értékekkel is lehetnek nehézségek. Mivel leggyakrabban papíron szoktuk alkalmazni (Itt lehet beszélni arról, hogy bár nem erre találták ki, az Excel mégis jól alkalmazható ilyen esetben, mert az ábrázolási tartományt, valamint az egységeket dinamikusan változtathatjuk), nehéz az egységeket addig változtatni, míg a kívánt pontossággal le tudjuk olvasni a metszéspont(ok) koordinátáit.

Ide keressetek példákat (irrac gyök, rac, de mondjuk 4 értékes tizedes jegye van, túl nagy gyök)

Az eredményeket minden esetben behelyettesítéssel szükséges ellenőrizni.

Ide pedig különböző egyenleteket keresstek (el is lehet mondani, hogy másodfokú egyenleteket pl. a gyöktényezős alak alapján, hiszen így olyan egyenlet írható fel, melyeknek mi választhatjuk meg a gyökeit, s így alkalmasak a szemléltetésre).

(Vigyázat, a konstans függvény nulladfokú, de természetesen lineáris, hiszen a képe egyenes.)Az egyenes arányosságot és grafikus képét mindenképpen é célszerű említeni (origóra illeszkedő egyenes).

Lehet érinteni a koordinátageometriával való kapcsolatokat és különbségeket, a parabola, mint alakzat, definícióját…

Tételként a másodfokú egyenlet megoldóképletét lehet bizonyítani. A szokásos úton, vagy azzal a trükkel, hogy az általános alakot beszorzod 4a-val, és így alakítod ki a teljes négyzetet… ez sokkal rövidebb és frappánsabb.

Bármely másodfokú egyenlet átrendezhető a következő alakba:
, ahol
szorozzuk mindkét oldal -val, ekkor azt kapjuk, hogy

amit alkalmasan átalakítva (teljes négyzet)

innen már jól látszik a diszkrimináns is, ha átrendezzük az egyenletet, akkor a valós gyök létezésének kritériuma is leolvasható, hiszen valós szám négyzete nem negatív (jobb oldal) tehát az egyenlőség feltétele, hogy a bal oldal (vagyis az a kifejezés, amit diszkriminánsnak nevezünk), se legyen negatív:


s mivel egy szorzatakkor és csakis akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla, ez éppen a jól ismert képlethez vezet.

Megemlítheted, hogy a szokásos bizonyítás azt az utat követi, ahogy képlet nélkül oldanánk meg egy másodfokú egyenletet (főegyüttható kiemelése, teljes négyzet, szorzattábontás).