23. Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával

A terület foglama

Bár a terület fogalma elsőre egyértelműnek tűnhet, a matematikailag megfelelő meghatározás megalkotása mégsem egyszerű feladat. A jelenleg használt definíció szerint:

Egy sokszög területe egy pozitív valós szám, melyre teljesül, hogy:

  1. Egybevágó sokszögek területe egyenlő.
  2. Ha egy sokszöget kettőre bontunk, e kettő területének összege az eredeti sokszög területe.
  3. Az egységoldalú négyzet területe 1.

Az újonnan definiált fogalom segítségével alkották meg az általánosabb meghatározást, mely szerint:

egy korlátos síkidom területe az az érték, amelynél sem kisebb területű külső sokszög, sem nagyobb tetrületű belső sokszög nincs, ha csak egy ilyen érték van.

(Egy síkidom által tartalmazott sokszöget a síkidom belső sokszögének, a síkidomot tartalmazó sokszöget a síkidom külső sokszögének nevezzük. Ha a síkidom sokszög, akkor saját magának belső és külső sokszöge is.)

Területszámítás elemi úton

Az elemi úton történő területszámításnál legtöbbször a vizsgált alakzatot olyan részekre osztjuk, melyek területére valamilyen képletet ismerünk (ld. a terület 2. tuljdonsága). Ilyenek a háromszög, a különböző négyszögek és a kör (illetve részei).

Háromszögek területe

A háromszög legtöbbet használt területképletei: a „klasszikus” képlet (alap*magasság/2), a Heron-képlet (csak az oldalak ismeretében) és a sinus-os képet (két oldal szorzata*közbezárt szög sinus-a/2).

Négyszögek területe

A négyszögek közül létezik képlet minden speciális négyszögre (négyzet, téglalap, paralelogramma, rombusz, trapéz, deltoid, húr- és érintőnégyszögek).

A kör és részeinek területe

A kör már nem sokszög, területét sokszögekkel való közelítéssel határozhatjuk meg, így kapjuk az ismert r2π képletet. A körlemez ismert területű részei a körcikk és a körszelet (illetve a körgyűrű)

Területszámítás és határozott integrál

A területszámítás másik módja a matematikai analízis tárgykörébe tartozó határozott integrálás. E művelet során egy függvénygörbe és az x-tengely által közbezárt előjeles területet közeltjük, a következő módon: A vizsgált [a,b] intervallumot részekre osztjuk, és mindegyiknek a hosszát megszorozzuk egy az intervallumbeli értékhez tartozó függvényértékkel (lényegében tégalapokkal közelítünk), majd ezeket összeadjuk. Ha az így kapott összegeknek van határértéke, akkor a függvény az [a,b] intervallumon integrálható és a határértéket a függvény [a,b] intervallumon vett határozott integráljának nevezzük.

Bár a határozott integrál kiszámítására már a definíció is egy módszer lehet, ennek használata körülményes és nehéz. Próbálkozzunk másképpen! Legyen az f(x) függvény integrálfüggvénye a F(t) függvény, vagyis . Írjuk fel F’(t)-t a deriválás definíciója alapján: (számláló→f(t0)/(t-t0), a határozott integtrálás definíciójából). Tehát az f függvény integrálfüggvényének deriváltja maga az f függvény, más szavakkal F f primitív függvénye. Ekkor f integrálja egy [a,b] intervallumon F(b)-F(a). Ez az úgynevezett Newton-Leibniz formula. (Az előbbi bizonyítást Newtonnak tulajdonítják.)

Egy függvény primitív függvényének megtalálása nem egy esetben nehéz feladat, néha nem is elemi függvény, sőt lehet, hogy nem tudjuk felírni. Viszont léteznek rá különböző azonosságok és még így is sokkal egyszerűbb, mint a definíció szerint számolni. Így az integrálást sokféle dologra használják. A matematikában területek és térfogatok kiszámítására, sorozatok öszzegzésére. Alkalmazása jelentős a fizikában is, ahol függvénygörbe alatti területként számítható a megtett út, vagy a végzett munka.

Megjegyzés: Az említett de nem kifejtett területképleteket is ajánlatos megjegyezni, mert megeshet, hogy rákérdeznek. (Mind benne van a függvénytáblákban.)

Hivatkozások

oktatas/matematika/szobeli/2007/23.txt · Utolsó módosítás: 2012/08/28 12:06 (külső szerkesztés)
CC Attribution-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0