Korlátosság

Definíció: Az f valós-valós függvény felülről korlátos, ha amelyre teljesül, hogy esetén K felső korlát. A teljességi axiómából következően mindig van legkisebb felső korlát, ez az értékkészlet szuprémuma.

Definíció: Az f valós-valós függvény alulról korlátos, ha , amelyre teljesül, hogy esetén . A teljességi axiómából következően mindig van legnagyobb alsó korlát, ez az értékkészlet infímuma.

Definíció: Az f függvényt korlátosnak mondjuk, ha alulról is és felülről is korlátos.

Ha az |f| függvény (felülről) korlátos, akkor a függvényt abszolút korlátos függvénynek nevezzük.

Tétel: A korlátosság szükséges és elégséges feltétele az abszolút korlátosság.

Bizonyítás: (Inkább csak bizonyítás vázlat)

Ha f abszolút korlátos és felső korlátja K pozitív szám, akkor könnyen belátható, hogy f-nek alsó korlátja -K, felső korlátja K

Ha f korlátos, k alsó és K felső korlát, akkor max(|k|; |K|) felső korlátja az |f| függvénynek.