numerikus sor

A $sum{k=1}{infty}{a_k}$ formális összeget numerikus sornak nevezzük, ha forall k in bbZ: a_k in bbR .

A $sum{k=1}{infty}{a_k}$ numerikus sor n-id részletösszege: $sum{k=1}{n}{a_k} = s_n$

A $sum{k=1}{infty}{a_k}$ numerikus sor részletösszegeinek sorozata (s_n)

konvergencia

Ha a részletösszegek sorozatának határértéke létezik és véges, akkor a num. sor konvergens és összege a határérték.

Ellenkező esetben (nem létezik vagy nem véges a részletösszegeiből képzett sorozat), akkor divergens.

megjegyzés: Ezekből a definíciókból, tételekből csak ritka esetben határozható meg a sorösszeg. A sorösszeg hatékonyabb számításához lásd: függvénysorok

A $sum{k=1}{infty}{a_k}$ numerikus sor abszolút konvergens, ha a A $sum{k=1}{infty}{|a_k|}$ numerikus sor konvergens.

Ha egy num. sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergensnek mondjuk.

konvergencia-kritériumok

1. szükséges Ha a $sum{k=1}{infty}{a_k}$ sor konvergens, akkor az a_n általános tag a nullához tart.

megjegyzés: jelváltó soroknál ez a feltétel elégségessé válik.

2. Cauchy-féle szükséges és elégséges A $sum{k=1}{infty}{a_k}$ numerikus sor akkor és csak akkor konvergens, ha forall varepsilon>0: exists n_varepsilon in bbZ^+ amelyre teljesül, hogy n_varepsilon<m<n esetén: $|a_{m+1}+a_{m+2}+cdots+a_n|<varepsilon$

következmény: ha a num sor absolut konvergens, akkor konvergens is.

pozitív tagú sorok

pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergencia-kritériumok

1. majoráns 2. minoráns 3. hányados (D'Alambert) 4. gyök (Cauchy) 5. integrál (Cauchy)

alternáló/jelváltó sorok

Leibnitz-típusú sorok