Hatványsor

Def. A $sum{k=0}{infty}{a_k(x-x_0)^k}$ alakú függvénysor neve hatványsor. (a_k in bbR, k in bbN, x_0 in bbR)

A hatványsorokkal való tételek és definíciók igen hasznosak a matematikában és a való életben. Céljuk, hogy egy függvényt egy polinommal tudjuk közelíteni (vagy akár teljesen pontosan előállítani), hiszen polinomokkal számolni igen könnyű. (A számítógépeknek is!). Álalánosságban elmondhatjuk, hogy igen kevés számú lépés nagyon jól közelíti például a trigonometrikus függvényeket, leírja a komplex számok algebrai és exponenciális alakja közti egyenlőséget, definiálja az Euler-féle számot, igen nagy segítség Riemann-integrálok számításakor (pl. sinx/x)…

Az alábbiakban megemlítünk néhány érdekes és fontos tételt, fogalmat. Ez nem középiskolás tananyag.

A hatványsor mindig konvergens x0-ban (a konvergenciatartomány sohasem üreshalmaz).

A hatványsor konvergenciatartománya:

$delim{lbrace}{x_0}{rbrace}$
-ra majdnem szimmetrikus intervallum, az alábbiak közül az egyik:
- $delim{[}{x_0-r, x_0+r}{]}$
- $delim{[}{x_0-r, x_0+r}{[}$
- $delim{]}{x_0-r, x_0+r}{]}$
- $delim{]}{x_0-r, x_0+r}{[}$ , ahol r a konvergenciasugár.

A konvergenciasugár meghatározható:

Hányadoskritériummal
Gyökkritériummal

Ha egy függvény hatványsora létezik (hatványsorba fejthető), akkor az egyértelmű. Vagyis egy függvénynek csak egyféle hatványsora van.

Taylor-sor

Taylor-polinom

Taylor-formula

Pontosan előállíthatóság feltétele. Lagrange-féle maradéktag…