Az integrálszámítás

Az integrálszámítás a matematikai analízis egyik alapja. Maga a kifejezés („integrál”) két - alapvetően különböző, bár egymáshoz matematikai tételek útján szorosan kapcsolódó - fogalomra utalhat: határozott integrál és határozatlan integrál (más néven antiderivált, azaz a deriválás inverzművelete).

Történelmi áttekintés

A határozott integrálszámítás alapvető gondolata már a híres, i.e.1800 körül keletkezett Moszkvai Tekercsen is megtalálható (csonkakúpok és csonkagúlák térfogatainak számolása). A módszer fejlettebb változatával találkozhatunk az ókori görögöknél (pl. Eudoxus); Archimédész volt az első, aki az ún. infinitezimálokat (végtelenül kicsi mennyiségeket) explicite használta, és ezzel jelentős eredményeket is ért el (parabola területe, kör területének közelítése). Meg kell említeni azonban, hogy ő maga sem tartotta egzaktnak saját - ezen a módszeren alapuló - bizonyításait.

A differenciál- és integrálszámítás (rövidebb nevén a kalkulus) alapvető elméletét Newton és Leibniz rakta le a 17. sz. második felében. Az elmélet legfontosabb része a két fogalom viszonylag pontos (bár nem kifogástalan) definiálása, a jelölésrendszer kialakítása (főleg Leibniz nyomán) és a Newton-Leibniz tétel (mely egységgé kovácsolja a két fogalmat) volt.

Bár az újonnan kialakuló kalkulus számos problémát könnyebben kezelhetővé tett, elméleti megalapozottsága megkérdőjelezhető volt, ezért sok támadás is érte (pl. Berkley püspök híres mondása az infinitezimálokról). A 19. sz. közepe táján indult meg a „szigorúság forradalma” (Lakatos Imre nyomén használva a kifejezést), szilárd alapokra helyezték a határérték fogalmát és ezáltal a kalkulust is; Cauchy, Weierstrass, Bolzano és Riemann nevét érdemes megjegyezni.

A 20. sz. elején a matematikai fogalmak legtöbbje az előzőekhez képest sokkal általánosabb megfogalmazást nyert (pl. függvény), így az integrálszámításra is új, általánosabb, formális definíciók születtek.

Határozatlan integrál

tabular{11}{11}{Definíció:} Legyen értelmezve [a,b] intervallumon. Ha létezik -hez olyan [a,b]-n értelmezett függvény, hogy F^,(x)=f(x) forall x -re (ahol F^,(x) f deriváltját jelenti), akkor azt mondjuk, hogy az primitív függvénye.

Ha egy függvénynek létezik primitív függvénye, akkor végtelen sok létezik. Legyen F_1 az függvény primitív függvénye. Tekintsük az F_2=F_1 + C függvényt, ahol C in bbR . F_2 deriváltja ekkor megegyezik F_1 deriváltjával, mivel konstans deriváltja nulla, ezért F_2 is primitív függvénye az -nek.

tabular{11}{11}{Definíció:} Az primitív függvényeinek a halmazát az határozatlan integráljának nevezzük, jelölése: int{}{}{f(x) dx}

Határozatlan integrál tulajdonságai

, ha egy tetszőleges konstans, azaz konstans kiemelhető az integrál elé.
, ha és és primitív függvényei, azaz összeg tagonként integrálható.

Határozott integrál

Alsó és felső közelítő összeg

Legyen adott egy [a,b]-n értelmezett korlátos, pozitív függvény. Tekintsük [a,b] egy beosztását: $a=x_0 < x_1 < x_2 < cdots < x_{i-1} < x_i < cdots < x_n = b$ . Az ehhez a beosztáshoz tartozó alsó közelítő összeg:
$s_n = m_1(x_1-x_0) + m_2(x_2-x_1) + cdots + m_{n}(x_n - x_{n-1}) = sum{i=1}{n}{m_i(x_i-x_{i-1})}$
Itt m_i jelenti az függvény alsó határát az $[x_i-x_{i-1}]$ intervallumon (az i index 1-től n-ig vesz fel értékeket)
A fenti beosztáshoz tartozó felső közelítő összeg pedig:
$S_n = M_1(x_1-x_0) + M_2(x_2-x_1) + cdots + M_n (x_n - x_{n-1}) = sum{i=1}{n}{M_i(x_i-x_{i-1})}$
Itt M_i jelenti az függvény felső határát az $[x_i-x_{i-1}]$ intervallumon.
Fontos: nem kötöttük ki, hogy a részintervallumok hossza egyenlő.

A Riemann-integrál

tabular{11}{11}{Definíció:} Az [a,b] intervallumon értelmezett korlátos függvényt integrálhatónak nevezzük, ha egyetlen olyan szám létezik, amely az függvény egyetlen alsó közelítő összegénél sem kisebb és egyetlen felső közelítő összegénél sem nagyobb. Ezt a számot az függvény [a,b]-n vett határozott integráljának nevezzük. Jelölése: int{a}{b}{f(x) dx}

Megjegyzés: az itt közölt definíció valójában a Darboux-integrál. A Riemann-integrál akkor és csak akkor létezik, ha a Darboux-integrál létezik, és értékük megegyezik, tehát nagy különbség nincs.

A fenti definícióból következik, hogy az [a,b] intervallumon értelmezett korlátos függvény akkor és csak akkor integrálható, ha forall epsilon > 0 -hoz olyan beosztás, melyre S_n - s_n < epsilon

tabular{11}{11}{Tétel:} Ha az függvény monoton [a,b] intervallumon, akkor ott integrálható.