Monotonitás
f: A→B függvény szigorúan monoton növekvő A-n, ha ∀ x1,x2∈A és x1<x2 esetén f(x1)<f(x2).
f: A→B függvény monoton növekvő A-n, ha ∀ x1,x2∈A és x1<x2 esetén f(x1)≤f(x2).
f: A→B függvény szigorúan monoton csökkenő A-n, ha ∀ x1,x2∈A és x1<x2 esetén f(x1)>f(x2).
f: A→B függvény monoton csökkenő A-n, ha ∀ x1,x2∈A és x1<x2 esetén f(x1)≥f(x2).
Monotonitás és az első derivált
EZ A SZAKASZ MÉG CSONK!
Ha f fv. értelmezett az ]a;b[ nyílt intervallumon és ott differenciálható, továbbá az intervallumon belül minden x-re az első derivált >= 0, akkor a függvény monoton növő.
megjegyzés: ha f értelmezett az intervallum szélein (a,b) és f folytonos a zárt [a;b]-n, akkor f a zárt [a,b]-n is monoton növő.
Ha f fv. értelmezett az ]a;b[ nyílt intervallumon és ott differenciálható, továbbá az intervallumon belül minden x-re az első derivált > 0, akkor a függvény szigorúan monoton növő.
megjegyzés: ha egy függvény deriváltja diszkrét pontokban 0 és máshol pozitív, akkor még a szigorúság fennáll. (pl. x^3, x+sinx) De ha egy intervallumon nulla, akkor nem.
Ha f értelmezett x_0 egy környezetében és diffható x_0-ban, és x_0-ban szélsőértéke van, akkor a derivált x_0-ban 0. [szükséges feltétel]
megjegyzés: ahol nem deriválható, ott még lehet szélsőértéke!
: Ha f értelmezett és diffható x_0 egy környezetében és f'(x_0)=0 és f' az x_0 helyen előjelet vált, akkor f-nek x_0-ban szélsőértékhelye van. Mégpedig ha - → + akkor minimuma, ha + → - akkor maximuma. [ez a gyakorlatban leginkább használt tétel]
: Ha f kétszer diffható x_0-ban és f'(x_0)=0 és f''(x_0)!=0, akkor f-nek x_0-ban szélsőértéke van, mégpedig ha f„(x_0)>0 akkor minimuma, különben maximuma.
A a második deriválás nem vezet eredményre (0), akkor addig deriváljuk, míg x_0-ban nem nulla lesz. Ekkor igazak a következők:
- ha páros fokszámú derivált nem nulla, akkor szélsőértéke van
- ha ez pozitív, akkor minimuma,
- ha ez negatív, akkor maximuma van
- ha páratlan, akkor nincs szélsőértéke.
[ezek tétel formájában is megfogalmazhatók…]
