Tartalomjegyzék
Határérték
Sorozatok határértéke
Definíció:
Az (an) sorozat határértéke az A valós szám, ha minden számhoz található olyan N küszöbindex, hogy bármely esetén .
Ha az (an) sorozatnak van véges (valós) határértéke, akkor konvergensnek nevezzük, minden más esetben a sorozatot divergensnek nevezzük.
Definíció: Az (an) sorozat határértéke (illetve ), ha bármely K valós számhoz található olyan N küszöbindex, hogy bármely esetén an>K (illetve an<K).
Tétel:
Konvergens sorozat mindig korlátos is.
Bizonyítás:
Válasszunk egy konkrét értéket, legyen például . Az ehhez tatozó küszöbindex feletti elemek mind az intervallumba esnek. A küszöbindex előtti tagok halmaza véges halmaz, így van legnagyobb és legkisebb eleme: M és m. Így tehát a sorozat felső korlátja a szám, alsó korlátja pedig a .
Bocs, ha hülyeséget írok, de a határéték(végesben véges) definíciójában, nem inkább annak kéne lennie, hogy ?
— Szilágyi Kristóf 2007/05/25 21:40
De. Máskor nyugodtan javítsd ki - biztos van még sok hasonló elgépelés!
[bb]
nevezetes határértékek
ökölszabályok:
Függvény határérték
Pontbeli határérték
Definíció:
Az f függvénynek az pontban van véges határértéke, ha f értelmezve van az egy pontozott környezetében, és van olyan szám, hogy bármely -hoz létezik olyan , hogy ha , akkor . Ekkor az A számot az f függvény x0 pontban vett határértékének nevezzük.
Jelölés:
Definíció:
Az f függvény határértéke az pontban (illetve ), ha f értelmezve van az egy pontozott környezetében, és bármely K valós számhoz létezik olyan , hogy ha , akkor f(x)>K (illetve f(x)<K).
Jelölés: