Az integrálszámítás alkalmazásai

Területszámítás

függvénygörbe alatti terület

A Riemann-integrál T=int{a}{b}{f(x)dx} szemléletesen az [a,b] intervallumon integrálható függvénygörbe alatti előjeles területet adja értékül. Ezt felhasználva tetszőleges függvénygörbe alatti terület a következőként számolhatjuk:

keressük meg a zérushelyeket ()
a zérushelyek mentén részintervallumokra osztjuk a függvényt, majd
vegyük a függvény ezen intervallumokon vett határozott intrgáljának abszolutértékének összegét.

Ekkor: $T=delim{|}{int{a}{z_1}{f(x)dx}}{|} + delim{|}{int{z_1}{z_2}{f(x)dx}}{|} + cdots + delim{|}{int{z_n}{b}{f(x)dx}}{|}$

Felhasználtuk, hogy int{a}{b}{f(x)dx} = int{a}{c}{f(x)dx} + int{c}{b}{f(x)dx} feltéve, hogy a<c<b .

függvénygörbék közti terület

Az előző meggondolást követve, a két függvénygörbe alatti területének a különbsége adja az előjeles területértéket. Az ábrán [a;z] intervallumon bejelölt első részterület tehát így számolható: $T_1=int{a}{z}{g(x)dx}-int{a}{z}{f(x)dx}$ , ami az integrálás tulajdonságai miatt: $T_1=int{a}{z}{g(x)-f(x)dx}$

Szemléletes meggondolásra szorul azonban két eset:

Melyik függvénygörbe alatti terület a nagyobb? (Miből kell kivonni mit? )
Mi történik, ha a görbe metszi az x-tengelyt, netán az egész a negatív félsíkba esik?

Az első esetből adodó negatív-terület problémát könnyen kiszűrjük, ha vesszük az adódott területek különbségének abszolutértékét (mint az előbb). A második felvetés is könnyen megoldható, hiszen egészen biztosan véges értékeket vesz fel a függvény (a feltétel szerint riemann-integralhato), így (a függvények folytonosságára kimondott weierstrass-tetel szerint) felveszi minimumát és maximumát. Ha a két függvény legkisebb felvett értékénél nagyobb mértékben pozitív irányban y tengelyen eltoljuk (hozzáadunk c-t), pozitív értékű függvénygörbéket kapunk. Ezt az integrálás tulajdonságai miatt megtehetjük: int{a}{b}{(g(x)+c)dx} - int{a}{b}({f(x)+c)dx} = int{a}{b}{(g(x)-f(x))dx}

Általánosan adódik, tehát, hogy az adott intervallumon integrálható két függvénygörbe közti terület az alábbi egyszerű képlettel számítható.

$T=delim{|}{int{a}{x_1}{g(x)-f(x)dx}}{|} + delim{|}{int{x_1}{x_2}{g(x)-f(x)dx}}{|} + cdots + delim{|}{int{x_n}{b}{g(x)-f(x)dx}}{|}$

Tartalomjegyzék

Az integrálszámítás alkalmazásai

Területszámítás

függvénygörbe alatti terület

függvénygörbék közti terület

Térfogat

Ívhossz

Forgástest palástja

Tömegközéppont