Függvény folytonosság

Definíció: Az f függvény folytonos az x_0 pontban, ha f értelmezve van az x_0 egy környezetében, és bármely epsilon > 0 -hoz létezik olyan delta > 0 , hogy ha $delim{|}{x-x_0}{|} < delta$ , akkor $delim{|}{f(x)-f(x_0)}{|}<epsilon$ .

Tétel: Legyen f függvény értelmezve az x_0 pont egy környezetében. Az f pontosan akkor folytonos az x_0 pontban, ha minden olyan (x_n) sorozatra, melynek tagjai az f értelmezési tartományába tartoznak, és (x_n) konvergál x_0 -hoz, a megfelelő függvényértékekből alkotott (f(x_n)) sorozat f(x_0) -hoz konvergál.

Bizonyítás: …

Folytonosság és határérték

A folytonosság fenti definíciója egyenértékű az alábbi feltételekkel:

Az f függvény értelmezve van az x₀ pontban ()
Az f függvénynek véges határértéke van az x₀ pontban
Ez a határérték az x₀ pontbeli függvényértékkel egyenlő

Egyoldali folytonosság

Definíció: Az f függvény az x₀ pontban jobbról (illetve balról) folytonos, ha f értelmezve van valamely $delim{]}{x_0;x_0+r}{[}$ (illetve $delim{]}{x_0-r;x_0}{[}$ ) intervallumon és forall epsilon in bbR^+ számhoz létezik olyan delta in bbR^+ szám, hogy minden 0<x-x_0<delta (illetve 0<x_0-x<delta ) esetén $delim{|}{f(x)-f(x_0)}{|}<epsilon$ .

Intervallumon folytonos függvények

Definíció: Az f függvényt folytonosnak nevezünk egy intervallumon, ha f az intervallum minden belső pontjában folytonos, zárt intervallum esetén a baloldali végpontban jobbról, a jobb oldali végpontban balról folytonos.

Jelölés: f in C delim{[}{a,b}{]}

Ha a függvény az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos, akkor egyszerűen csak folytonos függvénynek nevezzük.

Műveletek folytonos függvényekkel

Tétel: Legyen f és g folytonos az x₀ pontban. Ekkor

f+g függvény
f-g függvény
fg függvény
függvény, ha g(x₀) nem nulla

folytonos az x₀ pontban.

Bizonyítás: A bizonyítás a konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti szabályokra vezethető vissza.

Folytonos függvények tulajdonságai

Tétel: Ha f folytonos az x₀ pontban és f(x₀)>0, akkor van x₀-nak olyan B környezete, melyre forall x in B inter D_f: ~ f(x)>0 .
Bizonyítás: Mivel f folytonos x₀-ban, így bármely $epsilon in delim{]}{0,f(x_0)}{[}$ -hoz található delta sugarú környezet megfelel a feltételnek.

Következmény: Legyen f és g folytonos az x₀-ban, és f(x₀)>g(x₀). Ekkor van x₀-nak olyan B környezete, melyre forall x in B inter D_f inter D_g: ~ f(x)>g(x) .
Bizonyítás: Alkalmazzuk az előző tételt az f(x)-g(x) függvényre.

Tétel: Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy f felülről nem korlátos. Ekkor létezik olyan (x_n) intervallum beli sorozat, melyre f(x_n) végtelenhet tart. Mivel (x_n) korlátos, így létezik $(x_{i_n})$ konvergens részsorozata. Ekkor $(f(x_{i_n}))$ is konvergens, mert f folytonos az intervallum minden pontjában. Így ellentmondásra jutottunk, hiszen $(f(x_{i_n}))$ -nek végtelenhez kellene tartania.
Hasonlóan belátható, hogy f alulról korlátos.

Bolzano-Tétel: Ha f folytonos az [a;b] zárt intervallumon és f(a)f(b)<0, akkor f-nek van zérushelye az [a;b] intervallumon
Bizonyítás: Nézzük az f(a)<0, f(b)>0 esetet. Legyen ekkor H := delim{lbrace}{x in delim{[}{a;b}{]} : f(x)<0}{rbrace} . H felülről korlástos, hiszen b felső korlátja, így van x₀ legkisebb felső korlátja ( $x_0 in sup H in delim{]}{a;b}{[}$ ).
Belátjuk, hogy f(x₀)=0.
Tegyük fel ugyanis, hogy f(x₀)>0. Ekkor kell legyen x₀-nak olyan környezete, melynek x pontjaiban f(x)>0, így x₀ nem lehetne legkisebb felső korlát.
Tegyük fel most, hogy f(x₀)<0. Ekkor kell legyen x₀-nak olyan környezete, melynek x pontjaiban f(x)<0, így x₀ nem lehetne legkisebb felső korlát.
Így f(x₀)=0 lehet csak, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van zérushelye ]a;b[-n

Következmény: Ha f függvény az I intervallumon folytonos és nincs zérushelye I-n, akkor f állandó előjelű I-n.

Következmény: Ha f folytonos az [a;b] intervallumon, akkor f az f(a) és f(b) közötti összes értéket felveszi.
Bizonyítás: Legyen c az f(a) és f(b) közé eső érték. Ekkor g(x)=f(x)-c függvény folytonos az [a;b]-n és g(a)g(b)<0, így alkalmazható rá a Bolzano-Tétel, tehát g-nek van x zérushelye az [a;b]-n, ebben a pontban viszont f(x)=c adódik.