25. Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel.

Akár a beszélt nyelvben, a matematikában is vannak olyan „egyszerű” fogalmak, állítások, melyeket nem magyarázunk, vagy indoklunk. Ezeket alapfogalmaknak hivjuk (mint pl. a halmaz), illetve axiómáknak (mint pl. két ponton át pontosan egy egyenes húzható, valós számok axiómái, Peano-féle axiómák). Ezen alapfogalmak és axiómák segítségével definiálunk további fogalmakat (mint pl. részhalmaz), illetve bizonyítunk állításokat (mint pl. a háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást). A helyes következtetések rendszerét a matematikai logika alapozza meg. Különböző axiómarendszerek különböző fogalomkört határoznak meg (mint pl. Euklides-i és Bólyai geometria)

Vannak olyan állítások, melyeket sem cáfolni, sem igazolni nem tudunk (Gödel nem teljességi tétele szerint)

Ha viszont egy adott axiómarendszerben egy állítás bizonyítást nyert, akkor annak igaz voltában biztosak lehetünk. Az empírikus tudományokban, mint pl. kémia, találkozhatunk ezzel szemben olyan esetekkel, amikor újabb eszközök birtokában az eddigi modellünkkel nem magyarázható jelenségeket figyelhetünk meg (gondoljunk pl. az atommodellekre).

Vannak olyan állítások, melyek hosszú időn át foglalkoztatják a matematikusokat, ilyen pl. a közelmúltban bizonyított Fermat sejtés (Pitagorasi számhármasokhoz hasonló számhármasok nem léteznek, ha a kitevő nagyobb 2-nél). És vannak olyan sejtések, melyek hosszú időn át foglalkoztatják az embereket, s végül kiderül, hogy hibásak. Ilyen pl. a prímképlet . Ennek jelentősége a titkosírások kapcsán igen megnőtt (nyílt kulcsú titkosírás).

A bizonyítás egy olyan folyamat, melynek során egy már igazolt állításhoz, vagy axiómához, vagy egyéb nyilvánvalóan igaz állításhoz jutunk az igazolni kívánt állításból oly módon, hogy a lépéseinket megfordítva is igaz következtetéseket kapjunk, s így a kapott nyilvánvalóan igaz állításból következtethetünk a bizonyítandó állítás helyes voltára. (A szabályos (helyes) következtetési lépések (sémák) meghatározása a matematikai logika feladata.)

Előfordul, hogy az állítás hamis voltát egyszerűbb igazolnunk – indirekt bizonyítás – ilyen pl. négyzetgyök kettő irracionális volta. Ebből könnyedén következtethetünk arra is, hogy egész szám gyöke egész, vagy irracionális. Ehhez csak meg kell talalálnunk a bizonyítás azon pontját, mely négyzetszámokra nem működik. A bizonyítás azért is érdekes, mert alkalmazhatjuk a descente infinie (végtelen leszállás) elvét is. Ez itt konkrétan azt jelenti, hogy olyan törthöz jutnánk, mely végtelen sokszor egyszerüsíthető kettővel, ami nyilván lehetetlen.

Vannak olyan esetek is, amikor nem a bizonyítást terjesztjük ki, ily módon alkalmazva szélesebb körben, hanem az állítást fogalmazzuk meg általánosabban, vagy csak többet bizonyítunk, mint az állítás megkívánna, mert így egyszerűbb bizonyítani. Pl. a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást helyett azt bizonyítjuk, hogy 1:2 arányban osztják egymást (háromszog súlypontja), illetve: Felbontható-e egy négyzet 2007 db nem feltétlenül egybevágó kisebb négyzetre? helyett azt a kérdést tesszük fel: Felbontható-e bármilyen, 5-nél nagyobb számú kisebb négyzetre? Ez utóbbi bizonyítás a teljes indukció módszerének érdekes esete, mert nem elegendő egyetlen kiinduló eset, mivel a lépésszámot célszerű 3-nak választanunk.

teljes indukció ide az előbbi szakasz utolsóként említett példájának részletezése kerülhet pl majd:) Megjegyzés: a teljes indukció csak megszámlálhatóan végtelen számosságnál használható; kiterjesztése a transzfinit indukció.

A legjellemzőbben itt geometria tételek juthatnak eszünkbe (azon pontok halmaza a síkon…, egy háromszög akkor és csakis akkor derékszögű…)

Beszéljünk először a szükséges és elégséges feltételekről.
Két egész szám összege nyilván páros, ha az összeadandók párosak, tehát ez elégséges, de nem szükséges, hiszen mindkét összeadandó páratlan volta is páros összeget eredményez. Uígy elképzelhető, hogy egy feltétel szükséges, de nem elégséges pl. egy függvény képe parabola, ha hozzárendelési utasítása , ahol , hiányzik ugyanis az feltétel, s így akár egyenes is lehet a grafikus kép.

Jellemzően „megfordítható” tételek pl. a Thales és Pitagoras. A megfordítás azt jelenti, hogy az állításban a feltétel(ek) és a következmény(ek) szerepet cserélnek, s a tétel megfordítható, ha ily módon ismét igaz állításhoz jutunk. Ha egy tétel megfordítható, akkor szükséges és elégséges feltételt adtunk meg a teljesüléséhez.

Ilyen pl. a racionális számok kétféle definíciója ekvivalenciájának igazolása, amikor a szakaszos tizedestörtek normál törtté való átírására eljárást adunk…
vagy
[http://cryzis.vmg.sulinet.hu/~radnai/12emelt/_szelsoertek_elemi_1.doc]] a maximum megkeresésének módját itt szükségtelen elmondani, viszont amíg nem mutatjuk meg, hogy tényleg el is érhető ez, addig csak felső korlát a síkrészek számára a kapott érték.

számtani közép és mértani közép közötti egyenlőtlenség bizonyítása magasság tétellel (számtani-mértani egyenlőtlenség)

Pitagoras tétel rengeteg féle bizonyítása

… ebből már el lehet indulni:)

Ezek ugyan, mint „feladat-megoldási módszerek” szerepelnek a KöMaL honlapján, de talán bizonyítási stratégiáknak is alkalmazhatóak (több közülük már szerepelt):

• Analógia, mint megoldási módszer
• Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában
• Indirekt bizonyítási mód
• Konstruktív megoldási módszer
• Leghosszabb út módszere
• Skatulyaelv
• Szélsőérték-feladatok
• Diszkusszió
• Szitaformula
• Szöveges feladatok
• Teljes indukció módszere
• Végtelen leszállás módszere
• Szimmetriaelv
• Fregoli-elv
• Esetvizsgálat
• Ekvivalencia-feladatok

KöMaL feladatok megoldási módszerek szerint