Tartalomjegyzék

10. Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonítás, konvergencia), nevezetes számsorozatok
Nevezetes sorozatok
Alkalmazások

          EZ A CIKK CSONK!          
 -----------------------------------

10. Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonítás, konvergencia), nevezetes számsorozatok

Sorozatok fogalma

Sorozatokkal már egész korán, az általános iskolai tanulmányok során találkozhattunk. Ki ne emlékezne olyan példákra, melyben egy pár taggal megadott számsor képzési szabályát kellett meghatározni.

A középiskolában az általános iskolai szemléletes fogalmat pontos definíció váltotta fel. Ezután a sorozatokra, mint a függvények egy speciális csoportjára tekintettünk.

Sorozatok megadása

A precíz definíció bevezetése után a sorozatok megadására használt korábbi módszer - mely szerint a sorozatot az első néhány taggal adjuk meg - szintén nem állja meg a helyét. A sorozatok megadására a függvények megadására vonatkozó feltételek vonatkoznak, annyi könnyebbséggel, hogy az értelmezési tartomány adott, így ennek megadásától eltekinthetünk.

A leggyakrabban sorozatok megadása két módon történhet:

Sorozatok tulajdonságai

A sorozatok tulajdonságai alapvetően a függvények tulajdonságainak speciális esetei, átfogalmazásai, bár kisebb különbségek lehetnek köztük (pl. határérték).

A rendőr elv

Tétel:Ha (a_n) right A , (c_n) right A és $forall n in bbN^{+}: a_n<=b_n<=c_n$ , akkor (b_n) right A .

Megjegyzés: Az utolsó feltétel helyett valójában elegendő, ha egy bizonyos küszöbindextől kezdeve teljesül az egyenlőtlenség, tehát:
$exists N in bbN^{+}: forall n in bbN, n > N: a_n<=b_n<=c_n$

Bizonyítás:
Az (a_n) sorozatra a konvergencia definíciója miatt igaz, hogy:
$forall epsilon>0 exists N_1: n>N_1 doubleright delim{|}{a_n-A}{|}<epsilon$
Ugyanígy (c_n)-re is:
$forall epsilon>0 exists N_2: n>N_2 doubleright delim{|}{c_n-A}{|}<epsilon$
Legyen ekkor N=max(N_1,N_2) (a kettőből a nagyobb). Ekkor n>N esetén mindkét feltétel teljesül, azaz $delim{|}{a_n-A}{|}<epsilon$ és $delim{|}{c_n-A}{|}<epsilon$

Tudjuk továbbá, hogy a_n<=b_n<=c_n . Vonjunk ki A-t:
a_n-A<=b_n-A<=c_n-A

a definíciókban lévő abszolútérték felbontásából:
$delim{|}{a_n-A}{|}<epsilon doubleright -epsilon<a_n-A<epsilon$ és: $delim{|}{c_n-A}{|}<epsilon doubleright -epsilon<c_n-A<epsilon$
Amiből ebből fontos, hogy: -epsilon<a_n-A és c_n-A<epsilon ; Ezt visszaírjuk az 5 sorral feljebbi egyenlőtlenségbe:
-epsilon<a_n-A<=b_n-A<=c_n-A<epsilon ,ha n>N azaz: -epsilon<b_n-A<epsilon
ami egyenelő: $delim{|}{b_n-A}{|}<epsilon ,ha n>N$
Ami annyit jelent, hogy (b_n) konvergens és a határértéke A.