Geometriai transzformáció

A geometriai transzformáció olyan függvény, melynek értelmezési tartománya és képhalmaza is a sík (vagy tér) pontjainak halmaza.

Geometriai transzformációk csoportosítása

egybevagosagi_transzformaciok
hasonlósági transzformációk
egyéb transzformációk
- inverzio (körretükrözés)
- affin_transzformaciok
  - nyiras
  - skalazas (pl. tengelyes affinitás)

Geometriai transzformációk Klein-féle rendszerezése

Homeomorfia (folytonosság és illeszkedés tartás, vonalakon elhelyezkedő pontok rendezettsége is megmarad - topológikusan ekvivalens alakzatok jönnek létre)
Anamorfia (pl. inverzio)
Kollineáció vagy projektivitás (pl. centrális kollineáció - egyenestartó homeomorfia, azaz egyenestartó, bijektív leképezés - kettősviszony tartó)
Affinitás (pl. nyírás, tengelyes affinitás - olyan kollineáció, melyben párhuzamos egyenesek képei is párhuzamosak, tehát párhuzamosság tartó)
Hasonlóság (pl. középpontos hasonlóság - olyan affinitás, mely megtartja a távolságok arányát és a szögeket)
Egybevágóság (olyan hasonlóság, mely távolságtartó)

Transzformációk szorzása

Transzformációk szorzása alatt a transzformációk egymás utánját értjük, tehát valójában a transzformációk, mint függvények függvénykompozíciója a szorzat (összetett függvény). Ebből adódik, hogy a végrahajtás sorrendje jobbról balra olvasandó:

$t_1 t_2 F_{O,alpha} E_v right t_1(t_2(F_{0,alpha}(E_v(P))))$

A transzformációk szorzása asszociatív művelet.

Legyen ugyanis T_1 , T_2 és T_3 geometriai transzformáció, ahol tetszőleges P pontra legyen T_1(P) = Q , T_2(Q)=R és T_3(R)=M .

Ekkor T_3 cdot (T_2 cdot T_1)(P) = T_3(T_2(Q)) = T_3(R) = M és (T_3 cdot T_2) cdot T_1(P) = (T_3 cdot T_2)(Q) = T_3(T_2(Q)) = T_3(R) = M . Tehát T_3 cdot (T_2 cdot T_1) = (T_3 cdot T_2) cdot T_1 .

A geometriai transzformációk halmazában az identitas neutrális elem (egységelem), hiszen tetszőleges T transzformáció esetén T(I(P)) = T(P) = I(T(P)) , tehát T cdot I = I cdot T = T .

A fentiekből következik, hogy a geometriai transzformációk minden olyan szorzásra zárt részhalmaza csoport, melyben létezik minden transzformációnak inverze. Ilyen pl. a bijektív geometriai transzformációk halmaza, a hasonlósági transzformációk halmaza, vagy épp az egybevagosagi_transzformaciok halmaza.