Definíció: Egybevágósági transzformációnak nevezzük azokat a geometriai_transzformaciokat, melyben bármely két pont távolsága egyenlő a képeik távolságával. Ezért az egybevágósági transzformációkat szokás tavolsag_tarto transzformációknak is nevezni.

Bizonyítható, hogy az alábbiakon kívül nincs más egybevágósági transzformáció:

• tengelyes_tuekroezes
• identitas (helybenhagyás))
• eltolás
• forgatas
• koezeppontos_tuekroezes, mint a forgatás speciális esete
• csusztatva_tuekroezes

A körüljárástartó egybevágósági transzformációkat mozgatásoknak nevezzük.

Tétel: Minden egybevágósági transzformáció felbontható legfelejebb három tengelyes tükrözés szorzatára (egymásutánjára). Nevezetesen:

• a tengelyes tükrözést nem kell felbontani
• az identitás egy tetszőleges tengelyre való oda-vissza tükrözéssel állítható elő
• az eltolás két egymással párhuzamos, az eltolás vektorára merőleges tengelyre való tükrözéssel állítható elő, melyek távolsága a vektor hosszának fele (a tengelyek sorendje nem cserélhető fel!)
• A forgatás két egymást a forgásközéppontban metsző egymással tengelyre való tükrözéssel állítható elő, melyek szöge a forgásszög fele (a szög irányított szög, a tengelyek sorrendje nem cserélhető fel)
• A csúsztatva tükrözés két egymással párhuzamos és egy rájuk merőleges tengelyű tengelyes tükrözés szorzataként írható fel.

Bizonyítás: Minden egybevágósági transzformáció megadható a síkban elhelyezett két zászlóval.

A zászló ebben az esetben a következőt jelenti:

• egy P pont (a zászló „csúcsa”);
• egy P kezdőpontú f félegyenes (a zászló „rúdja”);
• az f által határolt egyik félsík (a zászló „lobogója”)

• Milyen négyszöget alkot egy tetszőleges négyszög négy oldalfelező pontja?
• Egy tetszőleges ABC háromszög AB és BC oldalára kifelé AB, illetve BC átfogójú, derékszögű, egyenlő szárú háromszögeket rajzolunk, melyek derékszögű csúcsa rendre D és E. A CA oldal felezőpontját jelölje F. Igazoljuk, hogy a DEF háromszög F-ben derékszögű, egyenlő szárú háromszög!
• Az ABC háromszög oldalaira kifelé rajzoljunk szabályos háromszögeket, melyek középpontjai rendre D, E és F. Igazoljuk, hogy a DEF szabályos háromszög!
• Az ABC háromszög AB, BC és CA oldalára kifelé rajzoljunk szabályos háromszögeket, melyek hiányzó csúcsait jelöljük rendre D, E, F betűkkel. Igazoljuk, hogy AE, BD és CF egyenlő hosszúak! Igazoljuk azt is, hogy páronként 60°-os szöget zárnak be egymással!
• Egy adott ABC háromszög esetén a sík mely P pontjára lesz a PA+PB+PC összeg minimális? Igazoljuk, hogy a keresett P pont az előző feladatban leírt AE, BD és CF szakaszok közös metszéspontja! Mutassuk meg, hogy ebből a pontból a háromszög mindhárom oldala 120°-os szög alatt látszik! (A pont neve: izogonális pont.)
• Adott egy hétszög hét oldalfelező pontja (). Szerkesszük meg a hétszög csúcsait!
• Adott egy nyolcszög hét oldalfelező pontja (). Szerkesszük meg a nyolcadik oldalfelező pontot!
• Mutassuk meg, hogy tetszőleges páros csúcsszámú sokszög esetén a sík bármely pontját a sokszög oldalfelező pontjaira tükrözve végül visszajutunk a kiindulópontba.
• Az ABC háromszög BC és CA oldalaira, mint alapra, kifelé (vagy mindkettőt befelé) rakjuk a BDC ill. a CEA egyenlő szárú háromszögeket. A D-nél delta, az E-nél 180 fok mínusz delta szög legyen. Jelöljük AB felezőpontját F-fel. Bizonyítandó, hogy a DEF háromszögben F-nél derékszög, D-nél delta/2 szög van! (A 2. példa általánosítása!)
• Az ABCD húrnégyszögben (AB<BC és AD<DC) az A-ból a B belső szögfelezőjére állított merőleges messe BC-t P-ben, a körülírt kört Q-ban, hasonlóan a D belső szögfelezőjére állított merőleges DC-t R-ben, a kört S-ben. Igazolandó, hogy a BS, a DQ és a PR egyenesek egy pontban metszik egymást.
• Legyen az elző. feladatban F a PR felezőpontja. Igazoljuk, hogy a QSF háromszögben F-nél derékszög van és Q-nál a B-nél lévő szög fele.
• Osszunk fel egy r sugarú kört négy egyenlő területrészre! KIZÁRÓLAG KÖRZŐT használhatunk!