| Előző változat mindkét oldalon
Előző változat
Következő változat
|
Előző változat
|
oktatas:matematika:geometria:vektor [2019/06/04 13:45]
barnkopf [Irányított szakasz] |
oktatas:matematika:geometria:vektor [2019/06/04 13:49] (aktuális)
barnkopf [Vektorok összeadása] |
| ===== Irányított szakasz ===== | ===== Irányított szakasz ===== |
| |
| A sík két pontja meghatározza az őket összekötő szakaszt. Ha a két pontot megkülönböztetjük, egyiket kezdő-, másikat végpontnak nevezzük, akkor irányított szakaszról beszélünk. Az irányított szakasz tehát a sík pontjaiból alkotott [[matematika:halmazok:halmazok#rendezett pár]]. | A sík két pontja meghatározza az őket összekötő szakaszt. Ha a két pontot megkülönböztetjük, egyiket kezdő-, másikat végpontnak nevezzük, akkor irányított szakaszról beszélünk. Az irányított szakasz tehát a sík pontjaiból alkotott [[oktatas:matematika:halmazok:halmazok#rendezett pár]]. |
| |
| <m 10>vec{PQ} in S*S</m>, ahol //S// a sík pontjainak halmaza. | <m 10>vec{PQ} in S*S</m>, ahol //S// a sík pontjainak halmaza. |
| A sík két nem párhuzamos és nem nulla vektorát **bázis**nak nevezzük. A bázis **normált**, ha a két bázis-vektor egységnyi hosszúságú, **ortonormált bázis**-ról beszélünk, ha emellett merőlegesek is egymásra. Az ortonormált bázis vektorait általában __i__-vel és __j__-vel jelöljük, rögzített koordináta-rendszer esetén __i__ az origóból az (1; 0), __j__ a (0; 1) pontba mutató vektor. | A sík két nem párhuzamos és nem nulla vektorát **bázis**nak nevezzük. A bázis **normált**, ha a két bázis-vektor egységnyi hosszúságú, **ortonormált bázis**-ról beszélünk, ha emellett merőlegesek is egymásra. Az ortonormált bázis vektorait általában __i__-vel és __j__-vel jelöljük, rögzített koordináta-rendszer esetén __i__ az origóból az (1; 0), __j__ a (0; 1) pontba mutató vektor. |
| |
| A **vektor-felbontás tétele** kimondja, hogy adott __a__, __b__ bázis esetén a sík bármely __v__ vektora felírható a bázisvektorok [[matematika:algebra:lineáris kombináció]]jakén, azaz __v__=k__a__+m__b__ alakban. | A **vektor-felbontás tétele** kimondja, hogy adott __a__, __b__ bázis esetén a sík bármely __v__ vektora felírható a bázisvektorok [[oktatas:matematika:algebra:lineáris kombináció]]jakén, azaz __v__=k__a__+m__b__ alakban. |
| |
| ===== Helyvektor ===== | ===== Helyvektor ===== |
| |
| A koordinátarendszer origójából induló irányított szakaszokat **helyvektor**oknak nevezzük. A vektorok és a helyvektorok között kölcsönösen egyértelmű ([[matematika:analízis:leképezés#bijekció|bijektív]]) megfeleltetés létesíthető: minden vektornak van (pontosan egy) origóból induló reprezentánsa, és minden helyvektor tagja valamely ekvivalenciaosztálynak. | A koordinátarendszer origójából induló irányított szakaszokat **helyvektor**oknak nevezzük. A vektorok és a helyvektorok között kölcsönösen egyértelmű ([[oktatas:matematika:analízis:leképezés#bijekció|bijektív]]) megfeleltetés létesíthető: minden vektornak van (pontosan egy) origóból induló reprezentánsa, és minden helyvektor tagja valamely ekvivalenciaosztálynak. |
| A helyvektorokat néha szokták kötött vektoroknak is nevezni. | A helyvektorokat néha szokták kötött vektoroknak is nevezni. |
| |
| Egy helyvektort végpontjával, illetve végpontjának koordinátáival adhatunk meg. Így a helyvektorok megfeleltethetők a sík pontjainak, illetve az <m 10>(a,b) in bbR*bbR</m> rendezett párok halmazának. | Egy helyvektort végpontjával, illetve végpontjának koordinátáival adhatunk meg. Így a helyvektorok megfeleltethetők a sík pontjainak, illetve az <m 10>(a,b) in bbR*bbR</m> rendezett párok halmazának. |
| |
| A **helyvektor**ok halmaza a [[matematika:halmazok:számhalmazok#valós számok halmaza|valós]] [[matematika:algebra:test|számtest]] feletti [[matematika:algebra:vektortér]]. Valójában a vektortér, mint [[matematika:algebra:struktúrák|algebrai struktúra]] a | A **helyvektor**ok halmaza a [[oktatas:matematika:halmazok:számhalmazok#valós számok halmaza|valós]] [[oktatas:matematika:algebra:test|számtest]] feletti [[oktatas:matematika:algebra:vektortér]]. Valójában a vektortér, mint [[oktatas:matematika:algebra:struktúrák|algebrai struktúra]] a |
| geometriai helyvektor fogalom általánosítása. | geometriai helyvektor fogalom általánosítása. |
| |
| A vektor hosszát a **vektor abszolútértéké**nek is nevezzük. Jele: |__v__|. | A vektor hosszát a **vektor abszolútértéké**nek is nevezzük. Jele: |__v__|. |
| |
| A [[matematika:geometria:pitagorasz_tetel]] segítségével felírhatjuk a //__v__(x,y)// vektor hosszát: | A [[oktatas:matematika:geometria:pitagorasz_tetel]] segítségével felírhatjuk a //__v__(x,y)// vektor hosszát: |
| |
| |
| ==== Vektorok összeadása ==== | ==== Vektorok összeadása ==== |
| |
| A vektorok összeadását és kivonását legkézenfekvőbben [[matematika:geometria:transzformációk:eltolás]]ok egymásutánjaként értelmezve határozhatjuk meg. Más megközelítésben a vektorok összeadása megfelel az erők eredőjének meghatározásával a fizikában. | A vektorok összeadását és kivonását legkézenfekvőbben [[oktatas:matematika:geometria:transzformációk:eltolás]]ok egymásutánjaként értelmezve határozhatjuk meg. Más megközelítésben a vektorok összeadása megfelel az erők eredőjének meghatározásával a fizikában. |
| |
| Vektorok összeadására két, egymással egyenértékű módszert használhatunk. | Vektorok összeadására két, egymással egyenértékű módszert használhatunk. |
| Vegyük az __a__ és __b__ vektorok egy-egy közös kezdőpontú reprezentánsát (képviselőjét). Legyenek ezek <m 10>vec{OA}</m> és <m 10>vec{OB}</m>, az általuk kifeszített paralelogramma negyedik csúcsa pedig //C//. Ekkor az <m 10>vec{OC}></m> irányított szakasz által képviselt __c__ vektort nevezzük az __a__ és __b__ vektorok összegének. | Vegyük az __a__ és __b__ vektorok egy-egy közös kezdőpontú reprezentánsát (képviselőjét). Legyenek ezek <m 10>vec{OA}</m> és <m 10>vec{OB}</m>, az általuk kifeszített paralelogramma negyedik csúcsa pedig //C//. Ekkor az <m 10>vec{OC}></m> irányított szakasz által képviselt __c__ vektort nevezzük az __a__ és __b__ vektorok összegének. |
| |
| Az összeadás [[matematika:algebra:kommutatív]]itása ebből a megközelítésből azonal adódik. | Az összeadás [[oktatas:matematika:algebra:kommutatív]]itása ebből a megközelítésből azonal adódik. |
| |
| === Egymás után fűzés (lánc-szabály) === | === Egymás után fűzés (lánc-szabály) === |
| Vegyük az __a__ és __b__ vektorok olyan reprezentánsait (képviselőitt), melyek egyikének végpontja a másik kezdőpontjával egyezik meg. Legyenek ezek <m 10>vec{OA}</m> és <m 10>vec{AC}</m>. Ekkor az <m 10>vec{OC}></m> irányított szakasz által képviselt __c__ vektort nevezzük az __a__ és __b__ vektorok összegének. | Vegyük az __a__ és __b__ vektorok olyan reprezentánsait (képviselőitt), melyek egyikének végpontja a másik kezdőpontjával egyezik meg. Legyenek ezek <m 10>vec{OA}</m> és <m 10>vec{AC}</m>. Ekkor az <m 10>vec{OC}></m> irányított szakasz által képviselt __c__ vektort nevezzük az __a__ és __b__ vektorok összegének. |
| |
| A módszer előnye, hogy kiterjeszthető többtagú összegre is, és az összeadás [[matematika:algebra:asszociatív]]itása is könnyen adódik belőle. | A módszer előnye, hogy kiterjeszthető többtagú összegre is, és az összeadás [[oktatas:matematika:algebra:asszociatív]]itása is könnyen adódik belőle. |
| |
| === Műveleti tulajdonságok === | === Műveleti tulajdonságok === |
| |
| A sík vektorainak halmaza az összeadás művelettel [[matematika:algebra:csoport|kommutatív csoort]]ot alkot, azaz: | A sík vektorainak halmaza az összeadás művelettel [[oktatas:matematika:algebra:csoport|kommutatív csoport]]ot alkot, azaz: |
| * [[matematika:algebra:kommutatív]] művelet: __a__+__b__=__b__+__a__ | * [[oktatas:matematika:algebra:kommutatív]] művelet: __a__+__b__=__b__+__a__ |
| * [[matematika:algebra:asszociatív]] művelet: (__a__+__b__)+__c__=__a__+(__b__+__c__) | * [[oktatas:matematika:algebra:asszociatív]] művelet: (__a__+__b__)+__c__=__a__+(__b__+__c__) |
| * [[matematika:algebra:egységelemes]] a __0__ vektorral: __a__+__0__=__0__+__a__=__a__ | * [[oktatas:matematika:algebra:egységelemes]] a __0__ vektorral: __a__+__0__=__0__+__a__=__a__ |
| * [[matematika:algebra:inverzelemes]] a vektorral: __a__+(__-a__)=(__-a__)+__a__=__0__ | * [[oktatas:matematika:algebra:inverzelemes]] a vektorral: __a__+(__-a__)=(__-a__)+__a__=__0__ |
| |
| === A koordinátasíkon === | === A koordinátasíkon === |
