„Bosszantó” kivétel a geometriában a párhuzamosság. Két pont mindig meghatároz egy egyenest, és fordítva: két egyenes is egy pontban „találkozik” általában kivéve, ha a két egyenes párhuzamos.

Pedig a távolba tűnő síneket elnézve valahol a horizonton összefutnak azok a párhuzamosok is. A perspektivikus ábrákon mi is így rajzoljuk őket. A párhuzamos egyenesek a végtelenben találkoznak…

A matematika egyedülálló sajátossága, hogy ötleteink megvalósítását semmi sem gátolja. Nosza, bővítsük ki a síkot új, speciális pontokkal - az ideális pontokkal - melyek a párhuzamos egyenesek metszéspontjai lesznek, és máris a projektív síkban találjuk magunkat…

Képzeljük el a hagyományos euklideszi síkot, és azon jó sok párhuzamos egyenest. Mi a közös ezen egyenesekben? Az állásuk: mindegyik ugyanúgy dõl. Nos, a projektív geometria találmánya az, hogy minden egyeneshez rendeljünk egy plusz „pontot”, ami az egyenes állásának felel meg (szoktuk úgy jelölni, hogy az egyenes megrajzolt vége mellé teszünk egy kis nyilat). Így a párhuzamos egyeneseket ugyanazzal a plusz ponttal egészítjük ki - ezeket a pontokat ideális pontoknak nevezzük, hiszen nem találjuk meg őket a közönséges síkunkon. Az ideális pontok a síkban egy ideális egyenest alkotnak. Ha most a síkon az ideális elemeket a közönségesekkel egyenértékűnek tekintjük, akkor ezt a síkot projektív síknak nevezzük, a geometriát pedig projektív geometriának.

Mit nyertün az új pontok bevezetésével? Először is azt, hogy mostantól a sík bármely két egyenesének lesz (egy, és csak egy!) metszéspontja:

1. két hagyományos, metsző egyenesnek egy közönséges pont a metszéspontja
2. két hagyományos párhuzamos egyenes metszéspontja a párhuzamosok állása által meghatározott ideális pont
3. egy hagyományos egyenesnek és egy ideális egyenesnek metszéspontja a hagyományos egyenes állásának megfelelő ideális pont.

A másik fontos észreveendő dolog, hogy közben nem rontottunk el semmit, azaz a másik szabályunk, mely szerint bármely két pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes nem sérül:

1. két közönséges pontra továbbra is illeszthetünk közönséges egyenest
2. egy közönséges pontra és egy ideális pontra illeszkedik a közönséges ponton át húzott, az adott ideális pont által meghatározott állású egyenes
3. két ideális pontra pedig az ideális egyenes illeszkedik.

Megfigyelhetünk valamiféle szimmetriát a pontok és egyenesek illeszkedési tulajdonságai között. Ez a szimmetria az oka annak, hogy bizonyos illeszkedéssel kapcsolatos fogalmak és állítások átfogalmazhatók. Ha egy állításban a pontok helyett egyenesekről, az illeszkedés helyett metszésről beszélünk és viszont, akkor megkapjuk az állítás duális párját.

A pontok és egyenesek illeszkedésére kimondott minden igaz állításban a „pont” és „egyenes” szavak felcserélésével is igaz állítást kapunk. Ez a *dualitási elv*.

Más esetekben az ideális pontok bevezetésével egyes tételek, állítások egy állítássá kapcsolódnak össze, leegyszerűsödnek. Erre példa Desargues tétele.

Vegyük a középpontos hasonlóság témaköréből jól ismert tételt:

Ha ABC és A'B'C' háromszög olyan, hogy az AA', BB', CC' egyenesek egy S ponton mennek át és AB||A'B', AC||A'C', akkor BC||B'C'.

Ennek projektív átfogalmazása:

Ha ABC és A'B'C' háromszög olyan, hogy az AA', BB', CC' egyenesek egy S ponton mennek át és AB és A'B' egyenespár, valamit AC és A'C' egyenespár is az ideáis egyenesen metszi egymást, akkor BC és B'C' egyenespár metszéspontja is az ideális egyenesen van, vagyis az említett metszéspontok egy egyenesen vannak.

Desargues francia mérnök vette észre a XVII. században, hogy ez a tétel akkor is igaz, ha az ideális jelzőkez elhagyjuk:

Ha ABC és A'B'C' háromszög olyan, hogy az AA', BB', CC' egyenesek egy S ponton mennek át és AB, A'B' egyenespár X metszéspontja, valamit AC, A'C' egyenespár Y metszéspontja és a BC, B'C' egyenespár Z metszéspontja egy egyenesre illeszkedik.

Tekintsük át az ideális pontok és a kúpszeletek kapcsolatát. Egy hagyományos ellipszishez, körhöz nem tartozik ideális pont, hiszen zárt alakzat. A hagyományos parabola szárai ugyanazon irányba mutatnak (a parabola tengelyének irányába), így a parabolához egy ideális pont tartozik. A hagyományos hiperbola szárai viszont két különbözõ irányba haladnak (az aszimptoták által megadott irányokba), így hozzájuk két különbözõ ideális pont tartozik.

A projektív sík geometriája nem csak az euklídeszi sík bővítésével építhető fel, hanem önállóan, saját axiomarendszerrel is. Ezen axiomarendszert akár véges halmazokra is alkalmazhatjuk, így véges számú pontot és egyenest tartalmazó modellekhez juthatunk.

Projektív geometria egy (P,E) halmazrendszer (E elemei P bizonyos részhalmazai) ahol P elemeit pontoknak, E elemeit egyeneseknek nevezzük, továbbá amelyre teljesül, hogy

1. bármely két különbözõ x,y ponthoz (x és y a P halmaz eleme) létezik pontosan egy e egyenes, amelynek x és y is eleme,
2. bármely két különbözõ egyenesnek pontosan egy közös pontja van,
3. található négy különbözõ pont úgy, hogy semelyik háromhoz ne lehessen olyan egyenest találni, amely mindegyiküket tartalmazza.

Példa: Fano-sík.
7 pont: egy szabályos háromszög 3 csúcsa, 3 oldafelezõ pontja és középpontja, továbbá
7 egyenes: a három oldalegyenes, a 3 súlyvonal és a beírt kör. mindegyik egyenes alatt a 7 pont közül azok halmazát kell érteni, amelyek illeszkednek rá.

Definíció: Egy véges projektív sík egy olyan projektív sík, amelynek ponthalmaza véges.

Definíció: Legyen (P,E) egy projektív geometria. Legyen e és f két egyenes és o egy olyan pont, amely sem e-nek, sem f-nek nem eleme. Legyen p(o,e,f) egy leképezés e-bõl f-be. e egy x pontjához az x-en és o-n átmenõ v egyenesnek (másképpen xo egyenesnek) és f-nek közös pontját értjük.

A definíció korrektsége nem nyilvánvaló. Az ``xo egyenes'' létezése az (1.) feltételbõl és abból következik, hogy x és o két különbözõ pont (az e egyenes megkülönbözteti õket: x az e egyenes egy pontja, o pedig nem). Az xo egyenesnek és f-nek közös pontja (3.) miatt jól definiált (csak azt kell ellenõrizni, hogy az xo egyenes és f különbözõ, amit az x pont bizonyít, hiszen x az xo egyenes pontja, míg g-re nem esik rá).

Lemma: p(o,e,f) bijekciót létesít e és f között.

Bizonyítás: Könnyen ellenõrizhetõ, hogy a p(o,e,f) leképezésnek van inverze: p(o,f,e).

Következmény: Egy véges projektív síkon minden egyenesnek ugyanannyi pontja van.

Definíció: Egy véges projektív sík paramétere az egyeneseinek koz;ös elemszámánál eggyel kisebb szám.

Lemma: Legyen k egy véges projektív sík paramétere. Ekkor

1. minden egyenesnek k+1 pontja van,
2. minden ponton k+1 egyenes halad át,
3. összesen k^2+k+1 pont van a síkon,
4. összesen k^2+k+1 egyenes van a síkon.

Egy nagyon fontos alapkérdés, hogy milyen k számokra létezik k paraméterû projektív sík. Csak néhány eredményt ismertetünk bizonyításuk nélkül.

• Minden q prímhatványra létezik q paraméterű projektív sík.
• k=6, 10 esetén nem létezik véges projektív sík.