Háromszögek

A háromszög olyan sokszoeg melynek három csúcsa, illetve három oldala van.

A sík (vagy tér) három pontja mindig meghatároz egy háromszöget. Ha a három pont egy egyenesre esik, akkor elfajuló háromszögről beszélünk.

A háromszögek belső szögeinek összege 180˚ (Euklideszi geometriában). Egy háromszögben nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van. Egy háromszög két oldalának összege mindig nagyobb a harmadik oldalnál (háromszög-egyenlőtlenség), másképp fogalmazva bármely két oldal különbsége kisebb a harmadik oldalnál. Összefoglalva |a-b| < c < a+b.

Az egyenlőoldalú háromszög mindhárom oldala ugyanakkora. Ekkor a háromszög szögei is egyenlőek - 60˚-osak. Így az egyenlőoldalú háromszög szabályos sokszög, ezért szabályos háromszögnek is nevezzük.

Egyenlőszárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van két egyenlő oldala, melyeket száraknak nevezünk. Ekkor a háromszög a harmadik oldal - az alap - felezőmerőlegesére szimmetrikus, ezért az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlőek.

Ha egy háromszög nem tartozik az előző két csoportba, vagy nem tudunk semmit az oldalairól, akkor általános háromszögnek nevezzük.

Mivel a háromszög belső szögeinek összege 180˚, így legfeljebb egy szöge lehet derék-, vagy tompaszög. Így a háromszög legnagyobb szöge alapján a háromszögeket három csoportba sorolhatjuk:

A háromszög hegyesszögű, ha minden szöge (így tehát a legnagyobb szöge is) hegyesszög, azaz kisebb 90˚-nál.

Hegyesszögű háromszögben

• a körülírt kör középpontja a háromszög beslő pontja
• a magaságpont a háromszög belső pontja

A háromszög derékszögű, ha van 90˚-os szöge. Ez a szög ilyenkor értelemszerűen a legnagyobb szög. A háromszög másik két szöge ilyenkor hegyesszög, ráadásul egymás potszoegei.

A derékszögű háromszög derékszöggel szemközti oldalát átfogónak nevezzük, másik két oldala a két befogó.

Derékszögű háromszögekkel kapcsolatban sok nevezetes tétel és összefüggés megfogalmazható. A teljesség igénye nélkül néhány:

• pitagorasz_tetel és megfordítása
• thales_tetel és megfordítása
• befogo_tetel és Magasság tétel

Derékszögű háromszögben

• a körülírt kör középpontja az átfogó felezőpontja (Thales-tétel megfordítása)
• a magasságpont a derékszögű csúcs

• szoegfueggvenyek

A háromszög tompaszögű, ha egyik (a legnagyobb) szöge nagyobb 90˚-nál.

Tompaszögű háromszögben

• a körülírt kör középpontja a háromszögön kívül helyezkedk el
• a magasságpont a háromszögön kívül helyezkedik el

A háromszög két oldalegyenesétől egyenlő távol lévő pontok halamza a síkban két szögfelező egyenest határoz meg.

A háromszög belső szögfelezője az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó szöget két egyenlő szögre osztja. A belső szögfelező mindig elválasztja a rá nem illeszkedő két csúcsot.

A belső szögfelező háromszögön belülre eső szakaszát röviden szögfelezőnek nevezzük. Jelölés: f_a, f_b, f_c.

A háromszög külső szögfelezője az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó külső szöget két egyenlő szögre osztja. A háromszög külső szögfelezőre nem illeszkedő csúcsai mindig a külső szögfelező által határolt azonos félsíkba esnek.

A külső szögfelező mindig merőleges az azonos csúcsra illeszkedő belső szögfelezőre, mert az általuk bezárt szög épp a belső és külső szög felének összege.

A háromszög három belső szögfelezőjének közös metszéspontja (O₀) a háromszög három oldalától egyenlő távolságra van, így egy olyan kör - a beírt kör - középpontja, mely mindhárom oldalegyenest érinti.

Állítás: Az ábra jelöléseit használva:
CA₀=CB₀=s-c
BA₀=BC₀=s-b
AB₀=AC₀=s-a ahol s a háromszög kerületének fele.

Bizonyítás: Külső pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő, így CA₀=CB₀, BA₀=BC₀, illetve AB₀=AC₀, mert ezek rendre a beírtkör C-ből, B-ből illetve A húzott érintő-szakaszai.

Írjuk fel most a a háromszög kerületét: k=a+b+c= (BA₀+A₀C)+(CB₀+B₀A)+(AC₀+C₀B)= (C₀B+BA₀)+(A₀C+CB₀)+(B₀A+AC₀)= =2AB₀+2BC₀+2CA₀

Ebből: s=AB₀+BC₀+CA₀

Ezt rendezve:
AB₀=s-(BC₀+CA₀)=s-(BA₀+CA₀)=s-a
BC₀=s-(AB₀+CA₀)=s-(AB₀+CB₀)=s-b
CA₀=s-(AB₀+BC₀)=s-(AC₀+BC₀)=s-c

Tétel: A háromszög területe t=sr₀, ahol s a háromszög kerületének fele és r₀ a beírtkör sugara.

Bizonyítás: T_ABC=T_ABO+T_BCO+T_CAO= cr₀/2+ar₀/2+br₀/2=r₀(a+b+c)/2= r₀s

A háromszög csúcsának szemközti oldaltól való távolságát a háromszög magasságának nevezzük. Másképp fogalmazva a magasság a csúcsból a szemközti oldalra állított merőleges szakasz.

A háromszög magasságának segítségével fejezzük ki leggyakrabban a háromszög területét.

A magasságok talppontjait jelölje a továbbiakban rendre , és .

A háromszög csúcsából a szemközti oldal egyenesére állított merőleges egyenest magasságvonalnak nevezzük.

Tétel A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás Húzzunk párhuzamosokat a háromszög csúcsain át a szemközti oldalakkal, a keletkező metszéspontokat jelölje rendre A', B', C'. Ekkor CABA', ABCB' és BCAC' négyszögek paralelogrammák, mert szemközti oldalaik párhuzamosak. Ezért AB=CA'=CB', BC=AB'=AC' és CA=BC'=BA', tehát az eredeti háromszög csúcsai a vesszős háromszög oldalfelező pontjai. Ez viszont azt jelenti, hogy az eredeti háromszög magasságai a vesszős háromszög oldalfelező merőlegesei, amikről tudjuk, hogy egy pontban metszik egymást.

A magasságvonalak közös metszéspontját magasságpontnak (M) nevezzük.

A magaságtalppontok által meghatározott háromszöget talpponti háromszögnek nevezzük. Az eredeti háromszög magasságvonalai a talpontti háromszög szögfelezői, az eredeti háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírható- vagy egyik hozzáírható körének középpontja (hegyesszögű ill. topaszögű eset)

Hegyesszögű háromszög esetén a háromszögbe írható háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb.

• Szerkesztési feladatok