Számelmélet feladatok

1. Mikor mondjuk, hogy a és b relatív prímek?
2. Igaz-e, hogy ha a|c és b|c Þ ab|c?
3. Hogyan határozható meg két szám legkisebb közös többszöröse, illetve legnagyobb közös osztója, ha ismerjük a két szám prímtényezős felbontását?
4. Hogy ismerhető fel egy szám prímtényezős felbontásából, hogy a szám négyzetszám?
5. Mit mond ki a számelmélet alaptétele?

Melyek azok a természetes számok (soroljunk fel néhányat), amelyeknek

• nincs osztójuk
• pontosan egy osztójuk van
• pontosan két osztójuk van
• nincs valódi osztójuk
• csak valódi osztójuk van
• pontosan három osztójuk van?

• Fogalmazd meg a 2-vel, 3-mal, 4-gyel és 5-tel való oszthatóság szabályát! Pótold a hiányzó számjegyeket, hogy az számok oszthatóak legyenek 6-tal, 12-vel, 15-tel!
  1. 34□
  2. 92□5
  3. 4□3△
  4. 4□△2

• Milyen számjegy írható x és y helyébe, ha

1. 45 | 135x2y
2. 12 | 5x327y

• Az 1, 3, 4, 5 és még egy számjegy segítségével írjuk fel a legnagyobb, ötjegyű, 12-vel osztható számot!

• - Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek pontosan
  1. 18 osztója van?
  2. 7 osztója van?
  3. 6 osztója van?

• Melyik az a legkisebb pozitív egész szám melynek osztója a 6, és hat osztója van?

• Tudjuk, hogy 37-nek az 5-ös maradéka 2, azaz 27=7·5+2. Írd fel hasonló alakban a következő számpárok maradékos osztását!
  1. 68; 7
  2. 75;15
  3. 135;10
  4. 2897;1001

• Keressük meg a következő számok legnagyobb közös osztóját!
  1. 475; 570
  2. 1008; 2835
  3. 7395; 9860
  4. 1517; 1739
  5. 3417; 4757
  6. 3150; 1080

• Határozzuk meg a 60, 72, 108 és 396 legkisebb közös többszörösét!

• Öt darab egymás utáni pozitív egész szám közül az első három négyzetének összege egyenlő az utolsó kettő négyzetének összegével. Melyek ezek a számok?
• Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalai egész számok, akkor nem lehet mindkét befogója páratlan.
• Egy tepsi süteményt szeretnénk feldarabolni a téglalap alakú tepsi oldalaival párhuzamos vágásokkal úgy, hogy szeletelés után a tepsi szélével érintkező darabok száma egyenlő legyen a tepsi szélével nem érintkező darabok számával.
• 3x+7x=13
• Egy szigeten 7 és 11 fejű sárkányok élnek. Hány sárkány él a szigeten, ha összesen 118 fejük van?
• Bolondóciában csak 9 és 24 forintos pénzérmék vannak. Hányféleképpen lehet pontosan 70 forintot kifizetni?
• Határozzuk meg a 6x+8x=10 egyenes egész koordinátájú pontjait!
• 7x+10y+15z=6 (segítség: 7x+5(2y+3z)=7x+5p=6 …)
• Melyek azok az egész számpárok, melyek összege egyenlő a szorzatukkal (xy = x+y)?
• 2x^2+xy-7=0
• Egy sakkversenyen két hetedik osztályos és néhány nyolcadik osztályos tanuló vett részt. Minden résztvevő mindenkivel egy mérkőzést játszott. A két hetedik osztályos együtt szerzett 8 pontot, a nyolcadikosok pedig mindnyájan egyenlő pontszámot szereztek (győzelem 1, döntetlen 0,5 pont). Hány nyolcadikos vett részt a versenyen?

• Mely egész n értékek esetén lesz az alábbi tört is egész szám?
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 

• Az első 10 pozitív egész szám legkisebb közös többszörösét a „fáraó számának” is nevezik, mert egy egyiptomi piramis sírkamrájának falán találták hieroglifákkal leírva. Melyik ez a szám?

• Az osztály tanulóit egyforma létszámú csoportokra akarják osztani. Akár négyesével, akár ötösével alkotnak csoportokat, kimarad egy tanuló. Legkevesebb hány tanuló járhat az osztályba?

• Mutassuk meg, hogy bármely páratlan szám négyzetéből egyet elvéve, 8-cal osztható számot kapunk!

• Bizonyítsd be
  1. 3 | 151640+20250+40060
  2. 5 | 20012007+20022006

• Van-e olyan négyzetszám, amelyik 40-re végződik?

• Bizonyítsuk be, hogy minden természetes számra 6 osztója -nek!