Valószínűségszámítás

Események

Eseménytér

Definíció: Jelölje a továbbiakban Omega egy kísérlet kimeneteleinek halmazát. Az Omega halmazt az adott kísérlethez tartozó eseménytérnek nevezzük.

Az eseménytér részhalmazait eseményeknek, egyelemű részhalmazait elemi eseményeknek nevezzük.

Azt mondjuk, hogy az A subset Omega esemény bekövetkezik, ha a kísérletnek olyan omega in Omega kimenetele következik be, amelyre omega in A .

Az üres halmazt, mint eseményt lehetetlen eseménynek nevezzük, jelölése: varnothing (üres halmaz).

A Omega halmazt, mint eseményt biztos eseménynek nevezzük, mert bármi a kísérlet eredménye, ez az esemény biztosan bekövetkezik.

Műveletek eseményekkel

Az eseményekre vonatkozó műveletek tulajdonképpen a halmazoknál megismert műveletek átfogalmazásai. Ezért gyakaran a halmazoknál bevezetett jelöléseket (∩,∪) használjuk, máshol viszont az algebra jól ismert műveleti jeleivel (+,-,*) találkozunk. Mi inkább ez utóbbit használjuk.

Ha A és B ugyanazon az eseménytér két eseménye, akkor A és B események együttes bekövetkezését, mint eseményt az A és B események szorzatának nevezzük és -vel, vagy a halmazoknál megszokott A∩B-vel jelöljük.
Ha A és B ugyanazon az eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy A vagy B valamelyike (vagy mindkettő) bekövetkezik az A és B események összegének nevezzük és A+B-vel, vagy a halmazoknál megszokott A∪B-vel jelöljük.
Az A esemény ellentétes eseménye (az A ellentettje, komplementere) az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor A nem következik be. Jelölése: .
Ha A és B ugyanazon az eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy A bekövetkezik, de B nem az A és B események különbségének nevezzük és A-B-vel, vagy a halmazoknál megszokott A\B-vel jelöljük.

Definíció: Egy eseményt összetett eseménynek nevezünk, ha előállítható - a triviális felbontástól eltérő módon - két esemény összegeként. Triviális felbontás alatt az A=A+A és A=A+varnothing összegeket értjük.

Azt mondjuk, hogy az A esemény bekövetkezése maga után vonja B bekövetkezését (implikálja A-t), ha A ⊂ B.

Az eseményekre is alkalmazhatók továbbá a halmazoknál megismert De Morgan formulák:

Egymást kizáró események

Azt mondjuk, hogy A és B egymást kizáró események, ha A cdot B = ∅.

Eseményalgebra

Ha egy eseményrendszerre teljesül, hogy

tartalmazza a biztos eseményt
tartalmazza bármely, a rendszerhez tartozó két esemény összegét
tartalmazza bármely, a rendszerhez tartozó esemény komplementerét

akkor ezt a rendszert eseményalgebrának nevezzük.

Példa: Az Omega összes részhalmaza (tehát eseménytér hatványhalmaza) eseményalgebrát alkot.

Megfigyelhető események

Egy kísérlet elvégzésekor nem biztos, hogy minden kimenetele megfigyelhető. Például ha két azonos kockát feldobunk, az (1, 2) és (2, 1) kimenetelekről nem dönthető el, hogy melyik következett be. Csak azt tudjuk megfigyelni, hogy az {(1, 2), (2, 1)} esemény bekövetkezett.

Jelölje Alfa a megfigyelhető események halmazát. Tulajdonságai:

Ha , akkor és .
Ha , akkor .

A továbbiakban kísérleten a K = (Ω, Alfa) párt értjük.

Teljes eseményrendszer

Definíció: Azt mondjuk, hogy a B_1, B_2, ... in Alfa események teljes eseményrendszert alkotnak, ha

egymást páronként kizárják, azaz
Egyikük biztosan bekövetkezik, azaz

Tehát egy teljes eseményrendszer nem más, mint Omega egy diszjunkt eseményekre történő felbontása.

Valószínűség

Tegyük fel, hogy egy K kísérletet n-szer végrehajtva megfigyeljük az A in Alfa esemény bekövetkezésének relativ_gyakorisagát. A tapasztalat azt mutatja, hogy az n növekedésével a relatív gyakoriság egyre kisebb kilengésekkel egy bizonyos szám körül ingadozik. Ezt a számot tekintjük az A esemény valószínűségének.

A továbbiakban a valószínuség fogalmára olyan axiomatikus bevezetést kívánunk felépíteni, amelyből ez a tapasztalati tény levezethető.

A valószínűség axiomái

Tekintsünk egy K=(Omega,Alfa) kísérletet. A valószínűség egy olyan P Alfa halmazon értelmezett valós függvény, melyre teljesülnek az alábbi axionák:

Egy esemény valószínűsége nem negatív szám ()
A biztos esemény valószínűsége 1 ()
Ha A és B egymást kizáró események, akkor annak a valószínűsége, hogy valamelyikük bekövetkezik a két esemény valószínűségének összege.

Ez az axiomatikus felépítés A. N. Kolmogorovtól (1933) származik.

Valószínűségi mező

Ha P a K=(Omega,Alfa) kísérlet Alfa eseményrendszerén értelmezett valószínűség, az (Omega,Alfa,P) hármast valószínűségi mezőnek nevezzük.

A valószínűségi mező tulajdonságai

A 3. axiómában leírt tulajdonság általánosítható:

Tétel: Ha A_1, A_2, ..., A_n egymást kizáró események, akkor
P(A_1+A_2+...+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)

Bizonyítás: Az állítás teljes indukcióval igazolható. Az n=2 esetet beláttuk.

Tegyük fel, hogy n=k esetben igaz az állítás, azaz
P(A_1+A_2+...+A_k)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)

Ekkor, ha $A_1, A_2, ..., A_{k+1}$ egymást kizáró események, akkor A_1+A_2+...+A_k és $A_{k+1}$ is egymást kizáró események. Így $P(A_1+A_2+...+A_k+A_{k+1})=P((A_1+A_2+...+A_k)+A_{k+1})=$ $P(A_1+A_2+...+A_k)+P(A_{k+1})=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)+P(A_{k+1})$

Tétel: P(overline{A}) = 1-P(A)

Bizonyítás: Az A és A komplementere egymást kizáró események, így a harmadik axióma értelmében: P(A+overline{A})=P(A)+P(overline{A})

Másrészről A és A komplementere közül valamelyik biztosan bekövetkezik. Így: P(A+overline{A})=P(Omega)=1

A két egyenletből: P(A)+P(overline{A})=1 doubleright P(overline{A})=1-P(A)

Tétel: Ha A,B in Alfa és A subset B , akkor P(A)<=P(B) .

Bizonyítás: A B esemény felbontható két egymást kizáró eseményre:

A és B is bekövetkezik ()
csak B következik be ()

Másrészt, mivel A maga után vonja B-t A=A cdot B .

Így P(A)=P(A cdot B)<=P(A cdot B)+P(overline{A} cdot B)=P(A cdot B+overline{A} cdot B)=P(B)

Tétel: P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)

Bizonyítás: Legyen C=A backslash B (A bekövetkezik, de B nem), D=B backslash A (B bekövetkezik, de A nem) és E=AB (A és B is bekövetkezik).

Ekkor C, D és E egymást kizáró események és ugyanakkor P(A)=P(C+E)=P(C)+P(E) , illetve P(B)=P(D+E)=P(D)+P(E) , ezért:

P(A+B)=P(C+D+E)=P(C)+P(D)+P(E)= P(C)+P(E)+P(D)+P(E)-P(E)=(P(C)+P(E))+(P(D)+P(E))-P(E)= P(A)+P(B)-P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)

Klasszikus valószínűségi mező

Az (Omega,Alfa,P) valószínuségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük, ha

véges halmaz
minden esetén , azaz minden elemi esemény megfigyelhető
minden elemi esemény azonos valószínűségű

Világos, hogy ha Omega éppen n-elemű, akkor bármely omega in Omega esetén P(delim{lbrace}{omega}{rbrace})=1/n .

Nevezetesen, ha az A subset Omega esemény k elemből áll, akkor P(A)=k/n

Másképp fogalmazva A valószínusége: P(A)={kedvező elemi események száma}/{összes elemi esemény száma}={kedvező esetek száma}/{összes esetek száma}={delim{|}{A}{|}}/{delim{|}{Omega}{|}}

Feltételes valószínűség

Definíció: Tekintsünk egy (Omega,Alfa,P) valószínűségi mezőt, és egy olyan B in Alfa eseményt, amelyre P(B)<>0 . Az A in Alfa esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségén az alábbit értjük: P(A|B)={P(AB)}/{P(B)}

Független események

Egy A esemény független a B eseménytől, ha P(A)=P(A|B) , azaz ha A valószínűségén nem változtat, hogy B bekövetkezik-e. Könnyen belátható, hogy a tulajdonság szimmetrikus, azaz ha A független B-től, akkor B is független A-tól, így fogalmazhatunk úgy is, hogy A és B (egymástól) független események.

Definíció: Legyen (Omega,Alfa,P) valószínűségi mező, és A,B in Alfa megfigyelhető események. Azt mondjuk, hogy A és B független események, ha P(AB)=P(A) cdot P(B) .

Tétel: Ha A, B események függetlenek, akkor B ellentettje ( overline{B} ) és A is független események.

Bizonyítás: Az A esemény felbontható két egymást kizáró esemény összegére (A és B is bekövetkezik, vagy csak A következik be). Így a 3. axioma értelmében: P(A)=P(AB+A overline{B})=P(AB)+P(A overline{B})

Átrendezve: P(A)-P(AB)=P(A overline{B})

Mivel A és B független események, P(AB) felírható P(A)P(B) alakban, így a fenti egyenlőség tovább alakítható:

P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(overline{B})=P(A overline{B})

Az utolsó egyenlőség értelmében B komplementere és A független események.

Teljes valószínűség tétele

Tétel: Tegyük fel, hogy az (Omega,Alfa,P) valószínűségi mezőben B_1, B_2... nem nulla valósuínűségű események teljes eseményrendszert alkotnak. Ekkor tetszőleges A in Alfa eseményre P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...

Bizonyítás:

$A=A inter Omega=A inter (bigcup{i}{}{B_i})=bigcup{i}{}{(A inter B_i)}$

Mivel a jobb oldali események egymást páronként kizárják, így:

$P(A)=sum{i}{}{AB_i}=sum{i}{}{P(A|B_i)P(B_i)}$

Példa: Adott három boríték:

Az elsőben 2 db ezres és 3 db kétezres bankjegy van
A másodikban 5 db ezres és 2 db kétezres van
A harmadikban 5 db kétezres van

Véletlenszerűen kiválasztva egy borítékot, majd a borítékból találomra kihúzva egy bankjegyet, mennyi a valószínűsége, hogy kétezrest húzunk?

Megoldás: Legyen A esemény, hogy kétezrest hútunk, B₁, B₂ és B₃ rendre az az esemény, hogy az első, a második, illetve a harmadik borítékot választjuk ki.

Bayes tétel

Tétel: Tegyük fel, hogy az (Omega,Alfa,P) valószínűségi mezőben B_1, B_2... nem nulla valósuínűségű események teljes eseményrendszert alkotnak. Ekkor tetszőleges A in Alfa, P(A)<>0 eseményre és i indexre $P(B_i|A)={P(A|B_i)P(B_i)} / {P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...}$

Bizonyítás: $P(B_i|A)={P(AB_i)}/{P(A)}={P(A|B_i)P(B_i)}/{P(A)}$

A nevezőt a Teljes valószínűség tételével kifejezve jutunk az állításhoz.

Feladat: Az előző példát folytatva: tegyük fel, hogy valaki egy húzás után közli, hogy kétezrest húzott. Mi a valószínűsége, hogy az első borítékból húzott?

Megoldás: $P(B_1|A)={P(A|B_1)P(B_1)}/{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+P(A|B_3)P(B_3)}= {3/5 cdot 1/3}/{3/5 cdot 1/3+2/7 cdot 1/3+1 cdot 1/3}$

Valószínűségi változó

Definíció: Egy kísérlethez tartozó Omega eseménytérben értelmezünk egy tetszőleges valós értékű függvényt, azaz minden omega in Omega kimenetelhez rendeljünk egy xi(omega) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük.

Példa: Két kockával dobunk. Jelentse a dobott számok összegét. Ekkor értéke lehet 2, 3, …, vagy 12.

Diszkrét valószínűségi változó

Definíció: Ha egy valószínűségi változó értékeinek halmaza (értékkészlete) véges, vagy megszámlálhatóan végtelen, akkor diszkrét vagy diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk.

A középiskolában csak diszkrét valószínűségi változókkal találkozunk.

Valószínűségeloszlás

A nemnegatív p₁, p₂, … számokat valószínűségeloszlásnak, röviden eloszlásnak nevezzük, ha összegük egy.

Ha diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x₁, x₂,…, akkor a P(xi=x_1), P(xi=x_2), ... valószínűségek halmazát a valószínűségi változó valószínűségeloszlásának vagy röviden eloszlásának nevezzük.

Néhány fontosabb diszkrét valószínűségeloszlás:

Várható érték

Egy adott esemény vizsgálatánál a várható átlaghoz minél közelebb álló érték meghatározása kísérletek elvégzése nélkül.

$E(ζ) = sum{i=1}{n} p_i x_i$

Szórás

ζ esemény szórásnégyzete: D^2 (ζ) = E((x_i - E(ζ))^2 ) Az így kapott értékből gyökvonás útján kapjuk meg a szórást.

Linkek

Egy jegyzet - nem középiskolai…
http://www.inf.unideb.hu/valseg/JEGYZET/valseg/Boritolap.htm

http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_5.pdf
http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_6.pdf
http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_7.pdf
http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_8.pdf
http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_9.pdf
http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_10.pdf
http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_11.pdf
http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_12.pdf

http://www.selyeuni.sk/docs/tananyag_gtk/valszam/esemeny%20algebra.pdf
http://www.selyeuni.sk/docs/tananyag_gtk/valszam/val%20valtozo.pdf

== Vita ==

Valószínűleg :) szét kellene szedni ezt a szócikket legalább kétfele (események/valószínűség)

A másik, hogy nem következetes a jelölésrendszer az eseményekre vonatkozó műveletek esetén. Egységesíteni kellene - a halmazműveletek helyett inkább az algebrai jelölést használjuk. [bb]

Klasszikus val. mezőnél miért kell kirakni az Alfát, hogyha minden esemény megfigyelhető? Ez akkor nem azt jelenti, hogy omega és alfa ugyanaz? [Coldfire]

Nyílván azért, mert az általános jelölésrendszert használjuk, általában meg meg lehet/kell különböztetni az Omegát és Alfát (középiskolában amúgy nem szoktuk ennyire részletezni, bár példákban azért előjön olykor, hogy a kettő nem ugyanaz) [bb]

Tartalomjegyzék