Binomiális eloszlás

Definíció: Legyen n pozitív egész szám és 0<p<1. Ekkor a $p_k = (matrix{2}{1}{n k})p^k (1-p)^{n-k}, (k=0, cdots, n)$ számok (n,p) paraméterű binomiális eloszlást alkotnak. Jele: B(n,p)

Alapfeladat: Mennyi a valószínűsége, hogy n db független kísérlet során a p valószínűségű esemény pontosan k-szor következik be.

Binomiális eloszlás várható értéke

Tétel: Ha egy X valószínűségi változó (n,p) paraméterű binomiális eloszlású, akkor várható értéke E(X)=np.

Bizonyítás:

$E(X)=sum{k=0}{n}{k cdot p_k}=sum{k=1}{n}{k cdot p_k}=sum{k=1}{n}{k (matrix{2}{1}{n k}) p^k (1-p)^{n-k}}$

Felhasználva, hogy (matrix{2}{1}{n k})=n/k (matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}}) , azaz k (matrix{2}{1}{n k})=n (matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}})

$E(X)=sum{k=1}{n}{n (matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}}) p^k (1-p)^{n-k}}$

Kiemelve np-t:

$E(X)=np sum{k=1}{n}{(matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}}) p^{k-1} (1-p)^{n-k}}$

azaz

$E(X)=np sum{k=1}{n}{(matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}}) p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}}$

i=k-1 helyettesítéssel:

$E(X)=np sum{i=0}{n}{(matrix{2}{1}{{n-1} i}) p^i (1-p)^{(n-1)-i}}=np sum{i=0}{n}{p_i}$

Itt az összeadandók az (n-1, p) paraméterű binomiális eloszlás tagjai, tehát összegük 1. Ezért E(X)=np.