Tartalomjegyzék
Főnix számok
A legendás Főnix (Φοῖνιξ) mítikus madár, mely eredetileg az egyiptomi, majd több más nép hitvilágában is megjelenik. A mítikus történetekben az ókortól napjainkig fel-feltűnő madár (például Dumbledore főnixe a Harry Potter sorozatban) a legenda szerint 500 (más források szerint 1461 vagy 15 294) évente elég, majd hamvaiból újjáéled.
A számok körében égetés helyett a szám néhány számjegyét levágjuk, majd a levágott darabot a maradék végéhez illesztjük - így a szám egy többszöröse „éled fel”: 142857, 428571, 285714, 857142, 571428…
Meghatározás
A főnixszámok olyan természetes számok, melyek valamely többszöröse(i) az eredeti számmal megegyező számjegyekből áll(nak), ráadásul ciklikusan nézve azonos sorrenben.
Egy szép példa
A legismertebb példa a 142857. Lássuk ennek többszöröseit:
142857*1=142857 142857*2=285714 142857*3=428571 142857*4=571428 142857*5=714285 142857*6=857142
Vizsgáljuk tovább a fenti példát! A következő többszöröst felírva megtalálhatjuk mi a főnixszámok titka:
142857*7=999999
A 999999=1000000-1, másképp fogalmazva az 1000000 héttel osztva 1 maradékot ad. Az osztás eredménye tizedestört alakban:
1000000:7=142857,142857˙
Valójában a 142857 az 1/7 tört szakaszos tizedes tört alakjának ismétlődő szakasza.
Egy szám reciprokának tizedestört alakja akkor ad főnixszámot, ha ez a tizedestört periodikus és periódusa 1-gyel kevesebb jegyből áll, mint az a szám, amelynek reciprokát vettük. A 7 után először a 17 rendelkezik ezzel a tulajdonsággal: reciproka periodikus tizedestört és szakasza 16 jegyű. Ez a szakasz valóban főnixszámot is szolgáltat, ha a szakasz elején álló 0-t is hozzászámítjuk a számhoz
Valószínűnek látszik, hogy végtelen sok főnixszám létezik, ezt azonban nem sikerült ez ideig sem bebizonyítani, sem megcáfolni.
Egy másik példa
Egy kevésbé „tökéletes” példa a 153846. Ennek többszöröseit nézve:
153846*2=307692 153846*3=461538 153846*4=615384 153846*5=769230 153846*6=923076
Láthatjuk, hogy itt csak a szám háromszorosa és négyszerese adja ugyanazokat a számjegyeket, melyek az eredeti számban szerepeltek. Most a szám 13-szorosát kell megnéznünk, hogy lássuk a jelenség magyarázatát:
153846*13=1999998
Itt tehát a 2000000 13-mal vett osztási maradéka lett épp kettő, ebből adódik az ismétlődés. Másképp fogalmazva a 2/13 szakaszos tizedes tört hatjegyű szakasza adja a főnixszámot. Lássuk az osztást:
2 : 13 = 0,153846
70
50
110
60
80
2
Látjuk, hogy a maradékok között most csak a 6 és a 8 többszöröse az osztandónak - ebből adódik, hogy csak a szám 3, illetve 4-szerese lesz számunkra megfelelő.
Feladatok
Melyik az az ötjegyű természetes szám, amely „elejére”, illetve „végére” az 1 számjegyet írva két olyan hatjegyű számot kapunk, amelyek közül az egyik háromszorosa a másiknak?
Hivatkozások
—-
Más érdekességek a számelmélet témaköréből: