A algebrai struktúra a két műveletre nézve gyűrű, ha abel-csoport és félcsoport, valamint a + (összeadás) művelet a (szorzat) műveletre nézve disztributív.

A legismertebb gyűrű, egyúttal a gyűrűelmélet kiindulási pontja az egész számok halmaza. Valójában az egész számok halmazán felmerült számelméleti kérdések általánosítása az amivel a gyűrűelmélet foglalkozik.

Találkozunk ezek szerint más gyűrűkkel is?

Természetesen. Vegyük például a páros számok halmazát, vagy általában az n-nel osztható számok halmazát (n>1). Ezek olyan gyűrűk, melyekben nincs egység és a felbonthatatlan elemek nem feltétlenül prímek.

Vagy vehetjük a mod n maradékosztályok gyűrűjét (faktorgyűrű). Ezek véges elemszámú gyűrűk, melyekben általában nem teljesül a nullosztómentesség (csak ha n prím).

Fontos példa a test vagy esetleg gyűrű feletti polinomok gyűrűje, a polinom osztás, felbonthatóság kérdésköre…

Gyűrűnek tekinthető minden test (racionális számok halmaza, valós számok halmaza, stb), de ezekben minden nem nulla elem egység, így nem túl érdekesek számelméleti szempontból.

Számtalan példát lehet még találni gyűrűkre kezdve az nxn-es mátrixoktól, a Euler-egészeken át egészen a Gauss-egészekig, de lássuk inkább a részleteket…

A H halmaz a + és műveletekkel gyűrű, ha

• Az összeadás művelet tulajdonságai (kommutatív csoport)
  1. (H zárt az összeadás műveletre nézve)
  2. (az összeadás asszociatív művelet)
  3. (az összeadás kommutatív művelet)
  4. (van 0, az összeadás művelet egységeleme)
  5. (az összeadás inverzelemes)
• A szorzás tulajdonságai
  1. (a szorzás disztributiv az összeadás felett)
  2. (H zárt a szorzás műveletre nézve)
  3. (a szorzás asszociatív művelet)

• A szorzás műveletnek esetlegesen lehetnek egyéb tulajdonságai:
  1. (a szorzás kommutatív művelet - H kommutatív gyűrű)
  2. (nullosztómentes gyűrű)
  3. (a szorzás művelet egységelemes - H egységelemes gyűrű)

Megjegyzések:

• A 4. pontban definiált egységelem egyértelmű, ugyanis ha 0 és 0' egységelemek, akkor 0=0+0'=0'+0=0'
• Az 5. pontban definiált additív inverz (ellentett) egyértelmű: ha a inverze -a és -a', akkor -a=(-a)+0=(-a)+[a+(-a')]=[(-a)+a]+(-a')=0+-a'=-a'

A nullosztómentes, egységelemes, kommutatív (legalább két elemű) gyűrűket integritástartományoknak nevezzük. Az integritástartományok tekinthetők az egész számhalmaz általánosításának is.

Az R gyűrű egy S részhalmazát az R részgyűrűjének nevezzük, ha maga is gyűrű, az R-beli műveletekkel.

Az balideál R-ben, ha

• (I zárt a kivonásra nézve)
• 

Az jobbideál R-ben, ha

• (I zárt a kivonásra nézve)
• 

Az ideál R-ben, ha bal- és jobbideál is.

Megjegyzések:

• Ha I ideál R-ben, akkor I részgyűrű R-ben
• Triviális ideálok: . Ezek mindig ideáljai R-nek
• A nem triviális ideálokat valódi ideáloknak nevezzük.
• Ha egy gyűrűben nincsenek valódi ideálok, akkor egyszerű gyűrűnek nevezzük

Az egész számok halmazában az n-nel osztható számok (másként: n többszörösei) ideálok, például a páros számok halmaza. Jelölés:

Tétel: Ha R kommutatív gyűrű, akkor ideál R-ben.

Bizonyítás: (vázlat)

• zárt a műveletekre nézve
• zárt a „kivonás”-ra nézve
• zárt az R beli elmmel való szorzásra nézve

Észrevételek: Ha R egységelemes, akkor

• 
• Ha I ideál és

Definíció: Legyen R gyűrű. Az (a) ideálokat, amelyek egy rögzített elem összes többszöröseiből állnak, főideáloknak nevezzük.

Kommutatív egységelemes gyűrűben az (a) ideál az a elemet tartalmazó legszűkebb ideál.

Legyen R gyűrű, I (kétoldali) ideál R-ben. R-nek I szerinti maradékosztály gyűrűje (faktorgyűrűje) a következő műveletekkel: …

A faktorgyűrű gyűrű.

Legyen a és b az R gyűrű két eleme. Azt mondjuk, hogy a osztója b-nek, ha van olyan c gyűrűelem, hogy b=ac. Ilyenkor úgy is fogalmazhatunk, hogy b többszöröse a-nak.

Jelölés: a|b

Tétel: A | reláció tranzitiv.

Bizonyítás: ha a|b akkor van olyan k, hogy b=ak. ha b|c akkor van olyan l, hogy c=bl. Ekkor c=bl=(ak)l=a(kl), tehát a|c teljesül.

Tétel: Integritástartományban a | reláció reflexiv.

Bizonyítás: a=1*a, így a|a nyilvánvaló.

Tulajdonságok:

• a|b ⇒ a|bc, hiszen ha például b=ak, akkor bc=(ak)c=a(kc).
• a|b és a|c ⇒ a|b+c, mert ha b=ak és c=al, akkor b+c=ak+al=a(k+l)

A e elem a R gyűrűben egység, ha minden R-beli elemnek osztója.

Tétel: Egységelemes gyűrűben e pontosan akkor egység, ha e|1.

Bizonyítás:

1. Ha e|1, akkor 1=e*k valamely k elemre, és így tetszőleges a gyűrűelemre a=1*a=(e*k)*a=e*(k*a), ami épp azt jelenti, hogy e|a, tehát e egység.
2. Ha e egység, akkor minden gyűrűelemet oszt, így e|1.

Megjegyzés:

• Ne keverjük össze az egységet az egységelemmel! A egységelem az a szám, melyre a*1=a, tetszőleges a gyűrűelem esetén. Integritástartományban az egységelem egyértelmű: 1=1'*1=1*1'=1' (Elég a nullosztómentesség is: 0=1+(-1)=1*1'+(1*(-1))=1(1'+(-1)), nullosztómentesség miatt 1'+(-1)=0, azaz 1'=1)
• Egy gyűrűben előfordulhat, hogy nincs egység. Ilyen pl. a páros számok halmaza, ahol a 2, 6, 10… számoknak nincs osztója. Az ewgész számok gyűrűjében két egység van: 1 és -1. A testekben, pl a racionális számhalmazon minden elem egység. A valós együtthtós polinomok gyűrűjében a nulladfokú polinomok, azaz a valós számok lesznek az egységek.

Az R gyűrű a és b elemei egymás asszociáltjai, ha egymás osztói, azaz a|b és b|a. Jelölés: a~b

Tétel: Integritástartományban a és b pontosan akkor asszociált, ha egymás egységszeresei.

Bizonyítás:

1. Ha a~b, akkor a=bk és b=al valamely k illetve l elemre. Ekkor a=bk=(al)k=a(kl), amiből a-a(kl)=a*1-a*(kl)=a(1-kl)=0. A nullosztómentesség miatt 1-kl=0, azaz 1=kl, tehát k és l is osztója az egységelemnek, tehát mindkettő egység.
2. Ha a=e*b, akkor b|a nyilvánvaló. a=1*a=(e*k)*a=e(k*a)=e*b, ebből e*(ka)-e*b=e*((ka)-b)=0. A nullosztómentesség miatt ka-b=0, tehát ka=b, ami épp azt jelenti, hogy a|b. Így a és b asszociáltak.

Az f elem felbonthatatlan (irreducibilis), ha (f nem nulla és nem egység) f=ab esetén a vagy b szükségképpen egység.

A p elem prím tulajdonságú, ha (p nem nulla és nem egység) p|ab esetén p|a vagy p|b teljesül.

Tétel: Integritástartományban minden prím tulajdonságú elem felbonthatatlan.

Bizonyítás:

Indirekt.

Tegyük fel, hogy p prím tulajdonságú, de nem felbonthatatlan, azaz felírható p=ab alakban, ahol se a se b nem egység.

Integritási tartományban p|p=p*1, így p|ab. Mivel p prím tulajdonságú p|a vagy p|b. Az általánosság rovása nélkül feltehetjük az előbbit, tehát a=p*k.

Ekkor 0=ab-p=(p*k)*b-p*1=p(k*b-1). Mivel p nem nulla és az integritási tartomány nullosztómentes így 0=k*b-1, azaz k*b=1, tehát b|1, ami épp azt jelenti, hogy b egység. Így ellentmondásra jutottunk.

Megjegyzés: Fordítva nem igaz!! Pl. páros számok gyűrűjében 2 felbonthatatlan, de nem prím. Illetve előfordulhat nem nullosztómentes gyűrűkben, hogy egy prím nem felbonthatatlan, például a mod 6 maradékosztály gyűrűben a 3 prím, de 3×3=3, azaz felbontható, hiszen 3 nem egység (például a 2-t nem osztja).

A Számelmélet Alaptétele (SZAT) A G gyűrűben teljesül a számelmélet alaptétele, ha minden elem felírható felbonthatatlan lelemek szorzataként, ahol a felbontás a tényezők sorrendjétől és egység szorzó erejéig egyértelmű.

Azokat a gyűrűket, melyekben teljesül a Számelmélet Alaptétele Gauss-gyűrűknek nevezzük.

Tétel: Egy R gyűrűben (integritástartományban?) pontosan akkor teljesül a számelmélet alaptétele, ha

1. R-ben nincs főideáloknak növekvő sorozata
2. R-ben minden fölbonthatatlan elem prím tulajdonságú

Az R integritástartományt főideálgyűrűnek nevezzük, ha benne minden ideál főideál.

Tétel Minden főideálgyűrűben teljesül a SzAT.

Olyan integritástartomány melyben van maradékos osztás, azaz működik az euklideszi algoritmus. Pontosabban:

…

Euklideszi gyűrű < Főideálgyűrű < Gauss-gyűrű < Gyűrű

(valódi részhalmazok!!)

A SzAT egyik legelterjedtebb bizonyítása az euklidészi algoritmus és a legnagyobb közös osztó fogalmára épül; ennek fontos általánosítása az euklideszi gyűrűkben értelmezett prímfaktorizáció végrehajthatósága és egyértelműsége. Euklideszi gyűrűre példa a Gauss-egészek és az Eisenstein-egészek gyűrűje. Azokat a gyűrűket, melyekben a számelmélet alaptételével analóg kijelentés igaz, Gauss-gyűrűnek nevezzük. Ha egy integritási tartomány főideálgyűrű, akkor euklideszi és minden euklideszi gyűrű Gauss-gyűrű, de ezek megfordítása nem igaz. Egységelemes integritási tartományokban akkor és csak akkor igaz a SzAT, ha minden felbonthatatlan elem prímelem és főideálok minden növő sorozata megszakad.

Minden integritástartomány (részgyűrűként) testbe ágyazható oly módon, hogy a test minden eleme ab⁻¹ alakú alkalmas a,b∈R-re. Az így kapott test, a hányadostest, egyértelmű. Az eljárás annak általánosítása, ahogy a racionális számokat konstruáljuk meg az egész számokból.