oktatas:matematika:valszam:start [MaYoR elektronikus napló]

Ez az oldal csak olvasható. Megtekintheted a forrását, de nem változtathatod meg. Ha úgy gondolod, hogy ez helytelen, kérdezd az Adminisztrátorokat!
====== Valószínűségszámítás ======


===== Események =====







==== Eseménytér ====

**Definíció:**
Jelölje a továbbiakban <m>Omega</m> egy kísérlet kimeneteleinek halmazát. Az <m>Omega</m> halmazt az adott kísérlethez tartozó **eseménytérnek** nevezzük.

Az eseménytér részhalmazait **eseményeknek**, egyelemű részhalmazait **elemi esemény**eknek nevezzük.

Azt mondjuk, hogy az <m>A subset Omega</m> esemény **bekövetkezik**, ha a kísérletnek olyan <m>omega in Omega</m> kimenetele következik be, amelyre <m>omega in A</m>.

Az üres halmazt, mint eseményt **lehetetlen esemény**nek nevezzük, jelölése: <m>varnothing</m> (üres halmaz).

A <m>Omega</m> halmazt, mint eseményt **biztos esemény**nek nevezzük, mert bármi a kísérlet eredménye, ez az esemény biztosan bekövetkezik.

=== Műveletek eseményekkel ===

Az eseményekre vonatkozó műveletek tulajdonképpen a [[matematika:halmazok:halmazok]]nál megismert műveletek átfogalmazásai. Ezért gyakaran a halmazoknál bevezetett jelöléseket (∩,∪) használjuk, máshol viszont az algebra jól ismert műveleti jeleivel (+,-,*) találkozunk. Mi inkább ez utóbbit használjuk.

  - Ha //A// és //B// ugyanazon az eseménytér két eseménye, akkor //A// és //B// események együttes bekövetkezését, mint eseményt az //A// és //B// események **szorzatának** nevezzük és <m 10>A cdot B</m>-vel, vagy a halmazoknál megszokott //A//∩//B//-vel jelöljük.
  - Ha //A// és //B// ugyanazon az eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy //A// vagy //B// valamelyike (vagy mindkettő) bekövetkezik az //A// és //B// események **összegének** nevezzük és //A+B//-vel, vagy a halmazoknál megszokott //A//∪//B//-vel jelöljük.
  - Az //A// esemény **ellentétes eseménye** (az //A// ellentettje, komplementere) az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor //A// nem következik be. Jelölése: <m>overline{A}</m>.
  - Ha //A// és //B// ugyanazon az eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy //A// bekövetkezik, de //B// nem az //A// és //B// események **különbségének** nevezzük és //A-B//-vel, vagy a halmazoknál megszokott //A//\//B//-vel jelöljük.

**Definíció:**
Egy eseményt **összetett esemény**nek nevezünk, ha előállítható - a triviális felbontástól eltérő módon - két esemény összegeként.
Triviális felbontás alatt az //A=A+A// és <m>A=A+varnothing</m> összegeket értjük.

Azt mondjuk, hogy az //A// esemény bekövetkezése maga után vonja
//B// bekövetkezését (implikálja //A//-t), ha //A// ⊂ //B//.

Az eseményekre is alkalmazhatók továbbá a [[matematika:halmazok:halmazok#De Morgan formulák|halmazok]]nál megismert
**De Morgan** formulák:\\
  - <m>overline{A+B}=overline{A}cdot overline{B}</m>
  - <m>overline{A cdot B}=overline{A}+overline{B}</m>

=== Egymást kizáró események ===
Azt mondjuk, hogy //A// és //B// egymást kizáró események, ha A <m>cdot</m> B = ∅.

==== Eseményalgebra ====
Ha egy eseményrendszerre teljesül, hogy
  - tartalmazza a biztos eseményt
  - tartalmazza bármely, a rendszerhez tartozó két esemény összegét
  - tartalmazza bármely, a rendszerhez tartozó esemény komplementerét
akkor ezt a rendszert **eseményalgebrának** nevezzük.

**Példa:**
Az <m>Omega</m> összes részhalmaza (tehát eseménytér [[matematika:halmazok:halmazok#hatványhalmaz]]a) eseményalgebrát alkot.


==== Megfigyelhető események ====

Egy kísérlet elvégzésekor nem biztos, hogy minden kimenetele
megfigyelhető. Például ha két azonos kockát feldobunk, az (1, 2)
és (2, 1) kimenetelekről nem dönthető el, hogy melyik következett
be. Csak azt tudjuk megfigyelni, hogy az {(1, 2), (2, 1)} esemény
bekövetkezett.

Jelölje <m>Alfa</m> a megfigyelhető események halmazát. Tulajdonságai:
  * Ha <m>A ∈ Alfa</m>, akkor <m>overline{A} ∈ Alfa</m> és <m>Ω ∈ Alfa</m>.
  * Ha <m>A_1, A_2, ... ∈ Alfa</m>, akkor <m>A_1 + A_2 + ... ∈ Alfa</m>.

A továbbiakban kísérleten a <m>K = (Ω, Alfa)</m> párt értjük.


==== Teljes eseményrendszer ====

**Definíció:**
Azt mondjuk, hogy a <m>B_1, B_2, ... in Alfa</m> események **teljes eseményrendszert** alkotnak, ha
  - egymást páronként kizárják, azaz <m>B_i cdot B_j = varnothing, i<>j</m>
  - Egyikük biztosan bekövetkezik, azaz <m>B_1 + B_2 + ...= Omega</m>

Tehát egy teljes eseményrendszer nem más, mint <m>Omega</m> egy diszjunkt eseményekre történő felbontása.


====== Valószínűség ======

Tegyük fel, hogy egy //K// kísérletet //n//-szer végrehajtva megfigyeljük az <m>A in Alfa</m> esemény bekövetkezésének [[oktatas:matematika:statisztika:relativ_gyakorisag]]át. A tapasztalat azt mutatja, hogy az //n// növekedésével a relatív gyakoriság egyre kisebb kilengésekkel egy bizonyos szám körül ingadozik. Ezt a számot tekintjük az //A// esemény valószínűségének.

A továbbiakban a valószínuség fogalmára olyan axiomatikus bevezetést kívánunk felépíteni, amelyből ez a tapasztalati tény levezethető.



===== A valószínűség axiomái =====

Tekintsünk egy <m 10>K=(Omega,Alfa)</m> kísérletet. A valószínűség egy olyan //P// <m>Alfa</m> halmazon értelmezett valós függvény, melyre teljesülnek az alábbi axionák:

  - Egy esemény valószínűsége nem negatív szám (<m>P(A)>=0</m>)
  - A biztos esemény valószínűsége 1 (<m>P(Omega)=1</m>)
  - Ha //A// és //B// egymást kizáró események, akkor annak a valószínűsége, hogy valamelyikük bekövetkezik a két esemény valószínűségének összege. <m>P(A+B) = P(A)+P(B)</m>

Ez az axiomatikus felépítés A. N. Kolmogorovtól (1933) származik.


==== Valószínűségi mező ====
Ha //P// a <m 10>K=(Omega,Alfa)</m> kísérlet <m>Alfa</m> eseményrendszerén értelmezett valószínűség, az <m 10>(Omega,Alfa,P)</m> hármast **valószínűségi mezőnek** nevezzük.

=== A valószínűségi mező tulajdonságai ===

A 3. axiómában leírt tulajdonság általánosítható:

**Tétel:**
Ha <m>A_1, A_2, ..., A_n</m> egymást kizáró események, akkor\\ <m>P(A_1+A_2+...+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)</m>

**Bizonyítás:**
Az állítás teljes indukcióval igazolható. Az //n=2// esetet beláttuk.

Tegyük fel, hogy //n=k// esetben igaz az állítás, azaz\\ <m>P(A_1+A_2+...+A_k)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)</m>

Ekkor, ha <m>A_1, A_2, ..., A_{k+1}</m> egymást kizáró események, akkor <m>A_1+A_2+...+A_k</m>
és <m>A_{k+1}</m> is egymást kizáró események. Így
<m>P(A_1+A_2+...+A_k+A_{k+1})=P((A_1+A_2+...+A_k)+A_{k+1})=</m>
<m>P(A_1+A_2+...+A_k)+P(A_{k+1})=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)+P(A_{k+1})</m>

----

**Tétel:**
<m>P(overline{A}) = 1-P(A)</m>

**Bizonyítás:**
Az //A// és //A// komplementere egymást kizáró események, így a harmadik axióma értelmében:
<m>P(A+overline{A})=P(A)+P(overline{A})</m>

Másrészről //A// és //A// komplementere közül valamelyik biztosan bekövetkezik. Így:
<m>P(A+overline{A})=P(Omega)=1</m>

A két egyenletből: <m>P(A)+P(overline{A})=1 doubleright P(overline{A})=1-P(A)</m>

----

**Tétel:**
Ha <m 10>A,B in Alfa</m> és <m 10>A subset B</m>, akkor <m 10>P(A)<=P(B)</m>.

**Bizonyítás:**
A //B// esemény felbontható két egymást kizáró eseményre:\\
  * //A// és //B// is bekövetkezik (<m 10>A cdot B</m>)
  * csak //B// következik be (<m 10>overline{A} cdot B</m>)
Másrészt, mivel //A// maga után vonja //B//-t <m 10>A=A cdot B</m>.

Így <m 10>P(A)=P(A cdot B)<=P(A cdot B)+P(overline{A} cdot B)=P(A cdot B+overline{A} cdot B)=P(B)</m>

----

**Tétel:**
<m>P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)</m>

**Bizonyítás:**
Legyen <m>C=A backslash B</m> (//A// bekövetkezik, de //B// nem), <m>D=B backslash A</m> (//B// bekövetkezik, de //A// nem) és <m>E=AB</m> (//A// és //B// is bekövetkezik).

Ekkor //C//, //D// és //E// egymást kizáró események és
ugyanakkor <m>P(A)=P(C+E)=P(C)+P(E)</m>, illetve <m>P(B)=P(D+E)=P(D)+P(E)</m>, ezért:

<m>P(A+B)=P(C+D+E)=P(C)+P(D)+P(E)=</m>
<m>P(C)+P(E)+P(D)+P(E)-P(E)=(P(C)+P(E))+(P(D)+P(E))-P(E)=</m>
<m>P(A)+P(B)-P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)</m>


==== Klasszikus valószínűségi mező ====

Az <m 10>(Omega,Alfa,P)</m> valószínuségi mezőt **klasszikus valószínűségi mező**nek nevezzük, ha
  * <m 10>Omega</m> véges halmaz
  * minden <m 10>omega in Omega</m> esetén <m>omega in Alfa</m>, azaz minden [[#események|elemi esemény]] [[#megfigyelhető események|megfigyelhető]]
  * minden elemi esemény azonos valószínűségű

Világos, hogy ha <m 10>Omega</m> éppen //n//-elemű, akkor bármely <m 10>omega in Omega</m> esetén <m 10>P(delim{lbrace}{omega}{rbrace})=1/n</m>.

Nevezetesen, ha az <m>A subset Omega</m> esemény //k// elemből áll, akkor <m>P(A)=k/n</m>

Másképp fogalmazva //A// valószínusége:
<m>P(A)={kedvező elemi események száma}/{összes elemi esemény száma}={kedvező esetek száma}/{összes esetek száma}={delim{|}{A}{|}}/{delim{|}{Omega}{|}}</m>

===== Feltételes valószínűség =====

**Definíció:**
Tekintsünk egy <m>(Omega,Alfa,P)</m> [[#valószínűségi mező]]t, és egy olyan <m>B in Alfa</m> eseményt, amelyre <m>P(B)<>0</m>. Az <m>A in Alfa</m> esemény //B//-re vonatkozó feltételes valószínűségén az alábbit értjük:<m>P(A|B)={P(AB)}/{P(B)}</m>





===== Független események =====

Egy //A// esemény független a //B// eseménytől, ha <m>P(A)=P(A|B)</m>, azaz ha //A// valószínűségén nem változtat, hogy //B// bekövetkezik-e. Könnyen belátható, hogy a tulajdonság szimmetrikus, azaz ha //A// független //B//-től, akkor //B// is független //A//-tól, így fogalmazhatunk úgy is, hogy //A// és //B// (egymástól) független események.

**Definíció:**
Legyen <m>(Omega,Alfa,P)</m> [[#valószínűségi mező]], és <m>A,B in Alfa</m> megfigyelhető események. Azt mondjuk, hogy //A// és //B// független események, ha <m>P(AB)=P(A) cdot P(B)</m>.


**Tétel:**
Ha //A//, //B// események függetlenek, akkor //B// ellentettje (<m 10>overline{B}</m>) és //A// is független események.

**Bizonyítás:**
Az //A// esemény felbontható két egymást kizáró esemény összegére (//A// és //B// is bekövetkezik, vagy csak //A// következik be). Így a 3. axioma értelmében: <m>P(A)=P(AB+A overline{B})=P(AB)+P(A overline{B})</m>

Átrendezve: <m>P(A)-P(AB)=P(A overline{B})</m>

Mivel //A// és //B// független események, //P(AB)// felírható //P(A)P(B)// alakban, így a fenti egyenlőség tovább alakítható:

<m>P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(overline{B})=P(A overline{B})</m>

Az utolsó egyenlőség értelmében //B// komplementere és //A// független események.

==== Teljes valószínűség tétele ====

**Tétel:**
Tegyük fel, hogy az <m>(Omega,Alfa,P)</m> [[#valószínűségi mező]]ben <m>B_1, B_2...</m> nem nulla valósuínűségű események [[#teljes eseményrendszer]]t alkotnak. Ekkor tetszőleges <m>A in Alfa</m> eseményre <m>P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...</m>

**Bizonyítás:**

<m 10>A=A inter Omega=A inter (bigcup{i}{}{B_i})=bigcup{i}{}{(A inter B_i)}</m>

Mivel a jobb oldali események egymást páronként kizárják, így:

<m 10>P(A)=sum{i}{}{AB_i}=sum{i}{}{P(A|B_i)P(B_i)}</m>

**Példa:**
Adott három boríték:
  - Az elsőben 2 db ezres és 3 db kétezres bankjegy van
  - A másodikban 5 db ezres és 2 db kétezres van
  - A harmadikban 5 db kétezres van
Véletlenszerűen kiválasztva egy borítékot, majd a borítékból találomra kihúzva egy bankjegyet, mennyi a valószínűsége, hogy kétezrest húzunk?

**Megoldás:**
Legyen //A// esemény, hogy kétezrest hútunk, //B<sub>1</sub>//, //B<sub>2</sub>// és //B<sub>3</sub>// rendre az az esemény, hogy az első, a második, illetve a harmadik borítékot választjuk ki.

Ekkor <m>P(A|B_1)=3/5</m>, <m>P(A|B_2)=2/7</m> és <m>P(A|B_3)=1</m> könnyen meghatározható.
Ebből <m>P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+P(A|B_3)P(B_3)=3/5 cdot 1/3+2/7 cdot 1/3+1 cdot 1/3</m>


==== Bayes tétel ====

**Tétel:**
Tegyük fel, hogy az <m>(Omega,Alfa,P)</m> [[#valószínűségi mező]]ben <m>B_1, B_2...</m> nem nulla valósuínűségű események [[#teljes eseményrendszer]]t alkotnak. Ekkor tetszőleges <m>A in Alfa, P(A)<>0</m> eseményre és //i// indexre
<m>P(B_i|A)={P(A|B_i)P(B_i)} / {P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...}</m>

**Bizonyítás:**
<m>P(B_i|A)={P(AB_i)}/{P(A)}={P(A|B_i)P(B_i)}/{P(A)}</m>

A nevezőt a Teljes valószínűség tételével kifejezve jutunk az állításhoz.

**Feladat:**
Az előző példát folytatva: tegyük fel, hogy valaki egy húzás után közli, hogy kétezrest húzott. Mi a valószínűsége, hogy az első borítékból húzott?

**Megoldás:**
<m>P(B_1|A)={P(A|B_1)P(B_1)}/{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+P(A|B_3)P(B_3)}=
{3/5 cdot 1/3}/{3/5 cdot 1/3+2/7 cdot 1/3+1 cdot 1/3}</m>






===== Valószínűségi változó =====

**Definíció:**
Egy kísérlethez tartozó <m>Omega</m> eseménytérben értelmezünk egy tetszőleges valós értékű <m>xi</m>függvényt, azaz minden <m>omega in Omega</m> kimenetelhez rendeljünk egy <m>xi(omega)</m> valós számot. Ezt a [[matematika:analízis:függvény]]t **valószínűségi változónak** nevezzük.

**Példa:**
Két kockával dobunk. Jelentse <m>xi</m> a dobott számok összegét. Ekkor <m>xi</m> értéke lehet 2, 3, ..., vagy 12.

==== Diszkrét valószínűségi változó ====

**Definíció:**
Ha egy <m>xi</m> valószínűségi változó értékeinek halmaza ([[matematika:analízis:függvények#értékkészlet]]e) véges, vagy [[matematika:halmazok:halmazok#megszámlálhatóan végtelen]], akkor **diszkrét** vagy **diszkrét eloszlású** valószínűségi változóról beszélünk.

A középiskolában csak diszkrét valószínűségi változókkal találkozunk.



==== Valószínűségeloszlás ====

A nemnegatív //p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, ...// számokat **valószínűségeloszlás**nak, röviden **eloszlásnak** nevezzük, ha összegük egy.

Ha <m>xi</m> diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei //x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,...//, akkor a <m>P(xi=x_1), P(xi=x_2), ...</m> valószínűségek halmazát a <m>xi</m> valószínűségi változó **valószínűségeloszlásának** vagy röviden **eloszlásának** nevezzük.

Néhány fontosabb diszkrét valószínűségeloszlás:
  * [[matematika:valszam:karakterisztikus_eloszlas]]
  * [[matematika:valszam:binomialis_eloszlas]]
  * [[matematika:valszam:geometriai_eloszlas]]
  * [[matematika:valszam:hipergeometriai_eloszlas]]
  * [[matematika:valszam:poison_eloszlas]]





=====Várható érték=====

Egy adott esemény vizsgálatánál a várható átlaghoz minél közelebb álló érték meghatározása kísérletek elvégzése nélkül.

<m> E(ζ) = sum{i=1}{n} p_i x_i </m>




=====Szórás=====

ζ esemény szórásnégyzete:
<m> D^2 (ζ) = E((x_i - E(ζ))^2 ) </m> 
Az így kapott értékből gyökvonás útján kapjuk meg a szórást.




===== Linkek =====

Egy jegyzet - nem középiskolai...\\
[[http://www.inf.unideb.hu/valseg/JEGYZET/valseg/Boritolap.htm]]

[[http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_5.pdf]]\\
[[http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_6.pdf]]\\
[[http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_7.pdf]]\\
[[http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_8.pdf]]\\
[[http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_9.pdf]]\\
[[http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_10.pdf]]\\
[[http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_11.pdf]]\\
[[http://www.uni-corvinus.hu/math/Tantargyak/Mat2_12.pdf]]

[[http://www.selyeuni.sk/docs/tananyag_gtk/valszam/esemeny%20algebra.pdf]]\\
[[http://www.selyeuni.sk/docs/tananyag_gtk/valszam/val%20valtozo.pdf]]



====== == Vita == ======
//Valószínűleg// :) szét kellene szedni ezt a szócikket legalább kétfele (események/valószínűség)

A másik, hogy nem következetes a jelölésrendszer az eseményekre vonatkozó műveletek esetén. Egységesíteni kellene - a halmazműveletek helyett inkább az algebrai jelölést használjuk.
[bb]

Klasszikus val. mezőnél miért kell kirakni az Alfát, hogyha minden esemény megfigyelhető? Ez akkor nem azt jelenti, hogy omega és alfa ugyanaz?
[Coldfire]

Nyílván azért, mert az általános jelölésrendszert használjuk, általában meg meg lehet/kell különböztetni az Omegát és Alfát (középiskolában amúgy nem szoktuk ennyire részletezni, bár példákban azért előjön olykor, hogy a kettő nem ugyanaz)
[bb]