Inverzó

Definíció: Legyen S egy euklideszi sík, egy rögzített pont és egy adott valós szám. Az és leképezést O pólusú hatványú inverziónak nevezzük.

Pozitív arányú inverzió esetén a transzformációt szokás körre tükrözésnek is nevezni. Ekkor az O középpontú sugarú kört az inverzió alapkörének nevezzük. E kör minden pontja fixpont, ez a kör tekinthető a tükrözés „tengelyének”.

Negatív arányú és O középpontú inverzió mindig felbontható egy O középpontú középpontos tükrözés és egy azonos középpontú arányú inverzió szorzatára, ezért gyakran ilyen esetben is beszélünk alapkörről, körre való tükrözésről.

Megjegyzések:

1. OP és OP' előjeles távolságok, tehát esetén a pólus elválasztja, míg esetén nem választja el P-t P'-től.
2. A transzformáció az O pólushoz nem rendel pontot.
3. A transzformáció a sík pontjait – a pólus kivételével – kölcsönösen egyértelműen képezi a sík pontjainak halmazába.

1. A pólusra illeszkedő egyenes invariáns (a pólus kivételével), de csak két fixpontja van.
2. Az inverzió négyzete identikus leképezés. Az inverzió megegyezik az inverzével: az inverzió involutorikus leképezés. Bármely alakzat képének a képe az eredeti alakzat.
3. Alapkörön belüli pont képe alapkörön kívüli pont és megfordítva.
4. Ha a pólusnak az alapkörtől különböző valamely körre vonatkozó hatványa egyenlő az inverzió hatványával, akkor ez a kör invariáns. Minthogy P és P’ közül pontosan az egyik van az alapkörön belül (avagy kívül), ezért az alapkör a k(K,r) invariáns kört két fix pontban metszi: {M,N}. A hk(O) = feltételből pedig , azaz következik, s ennélfogva az alapkör és a k invariáns kör merőlegesen metszik egymást.
5. Ha P képe P’, Q képe pedig Q’ és Q nem illeszkedik OP egyenesre, akkor a P, P’, Q, Q’ pontok ugyanazon körre illeszkednek.
6. Azonos pólusú két inverzió szorzata középpontos hasonlóság. Az inverziók halmaza a szorzásra nézve nem zárt. Azonos pólusú két inverzió bármelyikét megkaphatjuk a másik inverzió és egy középpontos hasonlóság szorzataként.
7. Az inverzió irányításváltó leképezés.
8. Az inverzió szögtartó leképezés. Ortogonális körök inverzei (amelyek nem feltétlenül körök) is ortogonálisak.

Az alapkörön kívüli pont képét a pontból az alapkörhöz húzott érintők érintési pontjait összekötő egyenesnek a pólus és a pont összekötő egyenesével alkotott metszéspontja adja. Alapkörön belüli (pólustól különböző) bármely pont képének szerkesztési menete az előbbi tételben leírt szerkesztés megfordítása révén áll elő.

Póluson áthaladó egyenes invariáns. A póluson áthaladó egyenes fix, de nem pontonként: két fixpont az alapkörrel alkotott metszéspontok. A póluson áthaladó egyenes merőlegesen metszi az alapkört, s így az előbbi tétel átfogalmazható: Az alapkört merőlegesen metsző egyenes invariáns. Póluson áthaladó egyenesre illeszkedő szakasz képe lehet szakasz, félegyenes vagy két félegyenes, aszerint hogy a pólus a szakasznak külső-, határ- vagy belső pontja. Ha egy szakasz képe szakasz, akkor megállapítható, hogy az eredeti szakasz felező pontjának képe nem azonos a képszakasz felező pontjával.

Póluson át nem haladó egyenes képe póluson áthaladó olyan kör, melynek középpontja a pólus egyenesre vonatkozó tükörképének az inverze. Póluson át nem haladó egyenes párhuzamos az inverzének a póluson áthaladó érintőjével. Póluson át nem haladó egyenesre illeszkedő szakasz képe körív.

Póluson áthaladó kör inverze póluson át nem haladó egyenes.

Póluson át nem haladó kör inverze póluson át nem haladó kör. Az alapkört merőlegesen metsző kör invariáns. Póluson át nem haladó kör középpontjának képe nem azonos a képkör középpontjával. Egy alapkörtől különböző kör középpontjának az inverze azonos a pólusnak a kör inverzére vonatkozó inverzével.

Legyen adott az S síkót érintő G gömb. A gömb érintési pontjával átellenes C pontjából vetítsük a gömbfelület pontjait a síkra. A C pont kivételével minden pont képe egyértelműen meghatározott és viszonyt: a sík összes pontja megfeleltethető így a gömbfelület egy-egy pontjának.

Az inverzió előállítható szereografikus projekció segítségével. Vegyük a sík egy P pontjának a sztereografikus projekció szerinti inverz képét, tükrözzük ezt a pontot a G gömb S-sel párhuzamos átmérősíkjára, majd vegyük az így kapott pont projektív képét, P'-t. A P' a P körre tükrözött képe. Az inverzió pólusa a gömb és sík érintési pontja, tengelyének sugara a G gömb átmérője.