Függvény folytonosság

Definíció: Az f függvény folytonos az x_0 pontban, ha f értelmezve van az x_0 egy környezetében, és bármely epsilon > 0-hoz létezik olyan delta > 0, hogy ha delim{|}{x-x_0}{|} < delta, akkor delim{|}{f(x)-f(x_0)}{|}<epsilon.

Tétel: Legyen f függvény értelmezve az x_0 pont egy környezetében. Az f pontosan akkor folytonos az x_0 pontban, ha minden olyan (x_n) sorozatra, melynek tagjai az f értelmezési tartományába tartoznak, és (x_n) konvergál x_0-hoz, a megfelelő függvényértékekből alkotott (f(x_n)) sorozat f(x_0)-hoz konvergál.

Bizonyítás:

Folytonosság és határérték

A folytonosság fenti definíciója egyenértékű az alábbi feltételekkel:

  1. Az f függvény értelmezve van az x0 pontban (x_0 in D_f)
  2. Az f függvénynek véges határértéke van az x0 pontban
  3. Ez a határérték az x0 pontbeli függvényértékkel egyenlő

Egyoldali folytonosság

Definíció: Az f függvény az x0 pontban jobbról (illetve balról) folytonos, ha f értelmezve van valamely delim{]}{x_0;x_0+r}{[} (illetve delim{]}{x_0-r;x_0}{[}) intervallumon és forall epsilon in bbR^+ számhoz létezik olyan delta in bbR^+ szám, hogy minden 0<x-x_0<delta (illetve 0<x_0-x<delta) esetén delim{|}{f(x)-f(x_0)}{|}<epsilon.

Intervallumon folytonos függvények

Definíció: Az f függvényt folytonosnak nevezünk egy intervallumon, ha f az intervallum minden belső pontjában folytonos, zárt intervallum esetén a baloldali végpontban jobbról, a jobb oldali végpontban balról folytonos.

Jelölés: f in C delim{[}{a,b}{]}

Ha a függvény az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos, akkor egyszerűen csak folytonos függvénynek nevezzük.

Műveletek folytonos függvényekkel

Tétel: Legyen f és g folytonos az x0 pontban. Ekkor

  • f+g függvény
  • f-g függvény
  • fg függvény
  • f/g függvény, ha g(x0) nem nulla

folytonos az x0 pontban.

Bizonyítás: A bizonyítás a konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti szabályokra vezethető vissza.

Folytonos függvények tulajdonságai

Tétel: Ha f folytonos az x0 pontban és f(x0)>0, akkor van x0-nak olyan B környezete, melyre forall x in B inter D_f: ~ f(x)>0.
Bizonyítás: Mivel f folytonos x0-ban, így bármely epsilon in delim{]}{0,f(x_0)}{[}-hoz található delta sugarú környezet megfelel a feltételnek.

Következmény: Legyen f és g folytonos az x0-ban, és f(x0)>g(x0). Ekkor van x0-nak olyan B környezete, melyre forall x in B inter D_f inter D_g: ~ f(x)>g(x).
Bizonyítás: Alkalmazzuk az előző tételt az f(x)-g(x) függvényre.


Tétel: Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy f felülről nem korlátos. Ekkor létezik olyan (xn) intervallum beli sorozat, melyre f(xn) végtelenhet tart. Mivel (xn) korlátos, így létezik (x_{i_n}) konvergens részsorozata. Ekkor (f(x_{i_n})) is konvergens, mert f folytonos az intervallum minden pontjában. Így ellentmondásra jutottunk, hiszen (f(x_{i_n}))-nek végtelenhez kellene tartania.
Hasonlóan belátható, hogy f alulról korlátos.


Bolzano-Tétel: Ha f folytonos az [a;b] zárt intervallumon és f(a)f(b)<0, akkor f-nek van zérushelye az [a;b] intervallumon
Bizonyítás: Nézzük az f(a)<0, f(b)>0 esetet. Legyen ekkor H := delim{lbrace}{x in delim{[}{a;b}{]} : f(x)<0}{rbrace}. H felülről korlástos, hiszen b felső korlátja, így van x0 legkisebb felső korlátja (x_0 in sup H in delim{]}{a;b}{[}).
Belátjuk, hogy f(x0)=0.
Tegyük fel ugyanis, hogy f(x0)>0. Ekkor kell legyen x0-nak olyan környezete, melynek x pontjaiban f(x)>0, így x0 nem lehetne legkisebb felső korlát.
Tegyük fel most, hogy f(x0)<0. Ekkor kell legyen x0-nak olyan környezete, melynek x pontjaiban f(x)<0, így x0 nem lehetne legkisebb felső korlát.
Így f(x0)=0 lehet csak, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van zérushelye ]a;b[-n

Következmény: Ha f függvény az I intervallumon folytonos és nincs zérushelye I-n, akkor f állandó előjelű I-n.

Következmény: Ha f folytonos az [a;b] intervallumon, akkor f az f(a) és f(b) közötti összes értéket felveszi.
Bizonyítás: Legyen c az f(a) és f(b) közé eső érték. Ekkor g(x)=f(x)-c függvény folytonos az [a;b]-n és g(a)g(b)<0, így alkalmazható rá a Bolzano-Tétel, tehát g-nek van x zérushelye az [a;b]-n, ebben a pontban viszont f(x)=c adódik.

oktatas/matematika/analizis/folytonossag.txt · Utolsó módosítás: 2019/06/06 08:51 szerkesztette: 144.76.96.236
CC Attribution-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0