Tartalomjegyzék
Tökéletes számok
A számelméletben tökéletes számnak nevezzük azokat az egészeket, amelyek megegyeznek osztóik összegével (az 1-et beleértve, önmagukat kivéve).
A legkisebb tökéletes szám a 6, amelynek önmagánál kisebb osztói az 1, a 2 és a 3, ezek összege pedig 1 + 2 + 3 = 6. A második legkisebb tökéletes szám a 28, melynek osztói az 1, 2, 4, 7 és 14 számok. A soron következő két tökéletes szám a 496 és a 8128.
Történet
Az ókori görögök csak a négy legkisebb tökéletes számot (6, 28, 496, 8128) ismerték.
Az ókori görög matematikus, Euklidész felfedezte, hogy az első négy tökéletes szám felírható 2n−1(2n−1) alakban:
- n = 2-re: 21(22−1) = 6
- n = 3-ra: 22(23−1) = 28
- n = 5-re: 24(25−1) = 496
- n = 7-re: 26(27−1) = 8128
Észrevéve, hogy a fent említett n-ekre, 2n−1 minden esetben prímszám, Euklidész bebizonyította, hogy minden olyan esetben, amikor 2n−1 prím, 2n−1(2n−1) tökéletes szám.
Az is megmutatható, hogy ha 2n−1 prím, akkor n is az, de fordítva nem feltétlenül igaz. Azokat a prímeket, amelyek felírhatók 2n−1 alakban, Mersenne-prímeknek nevezzük a 17. században élt francia szerzetes, Marin Mersenne után.
Az ötödik tökéletes számot Regiomontanus (1436-1476) találta meg. Ez a k=12-höz tartozó, 212(213-1) = 33 550 336. A XVI. században Johann Seheybl (1494-1580) tübingeni matematikus a hatodik és a hetedik tökéletes számot fedezte fel, a k=16 és a k=18 kitevõk esetén. Leonhard Euler (1707-1783) a k=30-ra mutatta ki, hogy 230(231-1) is tökéletes szám.
Euler bizonyította továbbá, hogy Euklidész képlete, 2n−1(2n−1) az összes páros tökéletes számot kiadja, pontosabban a Mersenne prímek és a páros tökéletes számok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.
A XIX. században négy új tökéletes számot ismertek meg. Ezek a 260(261-1), a 288(289-1), a 2106(2107-1) és a 2126(2127-1).
A XX. században már számítógépekkel vadásztak a tökéletes számokra. Az eredmény: 2520(2521-1), a 2616(2617-1), a 21278(21279-1), a 22170(22171-1), a 22202(22203-1), a 22280(22281-1), a 23216(23217-1), és a 244496(244497-1). Persze, lehet, hogy már vannak újabbak is…
Nyitott kérdések
Jelenleg véges sok Mersenne-prímet ismerünk, és azt sem tudjuk, hogy vajon végtelen sok ilyen prím van-e. Ennek megfelelően az sem ismert, hogy a tökéletes számok végtelen sokan vannak-e.
Nyitott kérdés az is, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok. Számos eredmény született ebben a témában, de egyik sem mutatott rá egy páratlan tökéletes számra vagy cáfolta ezek létezését. Ismert például, hogy minden n-re csak véges sok olyan páratlan tökéletes szám lehet, aminek n különböző prímtényezője van (L. E. Dickson 1913). Tudjuk, hogy ha létezik ilyen szám, akkor biztosan nagyobb, mint 10300 (R. P. Brent, G. L. Cohen, H. J. J. te Riele, 1991). Tudjuk továbbá, hogy legalább nyolc különböző prímosztója kell, hogy legyen (legalább tizenegy, ha a 3 nincs köztük), a prímtényezős felbontása legalább 47 tagból kell, hogy álljon, az egyik tényező nagyobb, mint 107, két tényező nagyobb, mint 104, további három tényező pedig nagyobb, mint 100.
