Fermat számok

Tekintsük a pk+1 alakú számokat:

  • 2^1+1 = 3 prím
  • 2^2+1 = 5 prím
  • 2^3+1 = 9 nem prím
  • 2^4+1 = 17 prím
  • 2^5+1 = 33 nem prím
  • 2^6+1 = 65 nem prím
  • 2^7+1 = 129 nem prím
  • 2^8+1 = 257 prím

Állítás: Ha k>0 és 2k+1 prímszám, akkor k kettőhatvány.

Bizonyítás: Ha k=2nm alakú, ahol m páratlan szám, akkor 2^k+1=(2^2^n)^m+1 osztható 2^2^n+1-gyel (nevezetes azonosság), s így következik, hogy ez maga a szám.

Az f_n = 2^2^n+1 alakú számokat Fermat-számoknak nevezzük.

Fermat prím

Fermat-féle prímeknek nevezzük a p=2k+1 alakú, pontosabban a 2^2^n+1 alakú prímeket.

A ma ismert fermat prímek:

  • f_0 = 2^{2^0}+1 = 3
  • f_1 = 2^{2^1}+1 = 5
  • f_2 = 2^{2^2}+1 = 17
  • f_3 = 2^{2^3}+1 = 257
  • f_4 = 2^{2^4}+1 = 65537

Pierre Fermat (1601-1665) francia matematikus egy 1640-ben ırott levelében azt a sejtést fogalmazta meg, hogy az fn számok mind prímek. A sejtést 1732-ben Leonhard Euler cáfolta azzal, hogy megmutatta: f_5 = 2^{2^4}+1 = 65537 = 641 cdot 6 700 417 nem prím (Euler 1732)!

A sejtés olyannyira nem igaz, hogy mindmáig nem találtak további Fermat-prímeket, az újabb sejtés, hogy nincs is több.

Fermat prímek és szerkeszthetőség

A Fermat-prímek azért is érdekesek, mert Carl Friedrich Gauss (1777-1855) egy nevezetes eredménye szerint pontosan azok a szabályos n-szögek szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval, amelyekre n egyenlő 2 valamely hatványának és különböző Fermat-prímeknek a szorzatával.

Hivatkozások

Más érdekességek a számelmélet témaköréből:

oktatas/matematika/algebra/fermat-prim.txt · Utolsó módosítás: 2019/06/04 13:44 szerkesztette: barnkopf
CC Attribution-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0