A matematikában a halmaz alapfogalom, ami azt jelenti, hogy nem definiálható. Ugyanakkor a halamzokkal szemben támasztott elvárásainkat axioma rendszerrel írjuk le.
Másképp: Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik ugyanazok, tehát kölcsönösen egymás részei.
Azaz: Minden halmazra és minden F(x) formulához LÉTEZIK egy B halmaz, amelyhez A-nak pontosan azok az x elemei tartoznak, amelyekre F(x) igaz.
Azaz: Bármely a,b dolgokhoz VAN olyan halmaz, amelynek ezek és csak ezek az elemei.
Ha egy A halmaz, amelynek elemei mind halmazok, akkor VAN olyan halmaz, amely pontosan azokat a dolgokat tartalmazza, amelyek A valamelyik elemének az elemei.
azaz van olyan A halmaz, amelynek az üres halmaz eleme, és ha az x halmaz eleme A-nak, akkor U{x,{x}} is eleme A-nak.
A Páraxioma biztosítja, hogy biztosan legyen halamaz. Ha van legalább egy halmaz, akkor biztosan van üres halmaz is (S miatt - azonosan hamis formulával). Több elemű halmaz létezéséhez az Unio-axioma vezet.
* Kiválasztási axióma (C) Nemüres halmazok nemüres rendszerének Descartes-szorzata nem üres.
Azaz ha H olyan halmazrendszer, mely nem üres és egyik tagja sem üres, akkor létezik olyan (halmazelméleti) függvény, mely H-n értelmezett és H minden egyes X tagjához egy X-beli elemet rendel.
Azaz, legyen P függvényszerű abban az értelemben, hogy minden egyes x-hez egyetlen y létezik, mellyel P(x,y) fennáll, ekkor tekinthetjük azt a (nem halmazelméleti!) 'f(x)=y' függvényt, mely minden x-hez azt az egyetlen y-t rendeli, melyre P(x,y) teljesül. A pótlás axiómája azt mondja, hogy ekkor minden H halmaz f általi f(H) képe szintén halmaz.
Megjegyezzük, hogy ennek az axiómának következménye, hogy minden H halmaz esetén cáfolható az H ∈ H kijelentés, azaz minden H halmaz esetén H nem lehet eleme H-nak. Érdekesség, hogy ha nem tennénk fel ezt az axiómát, akkor létezhetne végtelen leszálló lánc az ∈ relációra vonatkozóan, például: