Matematikai bizonyítás: ugyan olyan elméletben, mint bármely máshol használt bizonyítás, ám gyakorlatban sokkal nagyobb precizitást követel meg. A matematikában igaznak tartott állítások (tételek) érvényességének bemutatása.

A matematikában az igaznak vélt kijelentések igaz volta csak matematikai bizonyítással, gondolati úton fedhető fel.

Mint mindennek, a matematikának is vannak alapfogalmai, amelyek nem szorulnak magyarázatra (igazából pontos magyarázatot szerintem elég nehéz lenne rájuk adni; pl. halmaz…). Másik alapvető rész az axióma, axiómarendszer. Axióma az az állítás, amelyet elfogadunk igaznak, bizonyítás nélkül. Ezekből vethetőek fel és vezethetőek le a különféle állítások, azaz tételek.

A legtöbb matematikus úgy gondolja - Frege és Hilbert után szabadon -, hogy a bizonyítás nem más, mint olyan A1, A2,.., An állítások sorozata, melynek első eleme axióma, utolsó pedig a tétel. A kettő között 'ha… akkor…' formájú összekötés kell hogy legyen.

Ám ezzel szemben vannak, akik úgy gondolják, hogy nem elég a tételeket végiggondolni - Brouwer és követői, az intuicionisták. Szerintük a tételek csak akkor érvényesek, ha közvetlen kapcsolatban vannak valamely axiómával (ellenben pl. Gödel teljességi tételével, melyben csak bizonyítHATóságok vannak megfogalmazva, nem bizonyítottságok).

A matematikai bizonyítások során a logikai műveletekkel dolgozunk. Ezek közül a legalapvetőbbek:

• diszjunkció: „A vagy B”, A∨B
• konjunkció: „A és B”, A∧B
• implikáció: „ha A akkor B”, A ⇒ B
• negáció: „nem A”, ¬A
• univerzális kvatifikáció: „minden x-re A”, ∀(x)A(x) (valójában kvantor, ld. lejjebb..)
• egzisztenciális kvantifikáció: „van olyan x, amire A”, ∃(x)A(x) (valójában kvantor, ld lejjebb..)
• egyenlőség: „A egyenlő(azonos)B”, A=B

… ahol A és B állítások (tételek). Az univerzális és egzisztenciális kvantifikációt csak azért vettem bele, mert a tételek kimondásában (és annak formális leírásában) gyakran használjuk őket.

A matematikai logikáról, logikai műveletekről, kvantorokról külön szócikk is található, itt: logika

Itt próbálkozom meg a különböző bizonyítási eljárások bemutatásával. Ezek természetesen csak elméletek, és - mint azt mindenki, aki már próbált valamilyen matematikai állítást belátni tudja jól - a megoldás menete esetenként változik. Fel kell írni mindenféle adatot és összefüggést, aztán próbálkozni több irányban, ehez segítség (meg az érettségihez ;)) a következő lista:

A matematikában és a logikában direkt bizonyításnak nevezzük azt az eljárást, melynek során már bizonyított tények vagy axioómák segítségével, helyes, egymásból következő logikai lépések sorozatával igazoljuk a kívánt állítást. Vagyis minden lépésnél figyelni kell, hogy az igazság öröklődjön . Erre példa lehet mondjuk a Pithagorasz-tétel kismillió bizonyítása. (pl: http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/2001/pitagorasz/56_bizony%EDt%E1s.html)

Az egyik legtipikusabb direkt bizonyítási lépés, melynek során feltételezzük A állítás igaz voltát (axiómának tekintjük), és így levezetjük B állítást. Tehát feltéve A-t, teljesül B, vagyis ha A akkor B.

Azt a bizonyítási eljárást nevezzük indirektnek, melynél nem közvetlenül azt látjuk be, hogy adott A állítás igaz, hanem hogy ¬A nem igaz. Könnyebb érthetőség végett egy egyszerű példa a √2 irracionális voltának bizonyítása (Pósfai tanárnő csoportjainak szeretettel…):

Tétel: √2 irracionális Bizonyítás: tegyük fel, hogy √2 racionális → felírható két egész szám hányadosaként. A tört a legyegyszerűbb alakra van hozva, tehát a leganagyobb közös osztó az 1.

√2=p/q  / ()² 

2=p²/q² / *q² 

2q²=p²  -> p osztható kettővel, tehát legyen p=2z

2q²=4z² / :2

q²=2z²

Láthatjuk, hogy az utolsó sor alapján q is osztható kettővel, tehát mindkét szám páros, tehát nem igaz az indirekt feltétel, mert lehetne egyszerűsíteni.

QED. („quod erat demonstrandum” - latin, „ezt kellett bizonyítani”)

Az indirekt bizonyítások központi lépése, melynek lényege hogy adott A elméleten belül ellentmondásra jutasson egy ¬T formájú B állítást.

Vagyis, ha A-n belül B állításnál ellentmondásra jutunk, akkor ¬B levezethető. Ezt kicsit nehéz így elképzelni; de képzeljük el, hogy úgy kezdjük a bizonyítást, hogy „Tegyük fel hogy B mégis igaz…”, és úgy fejezzük be, hogy ellentmondásra jutunk, majd azt mondjuk: „..lehetetlen tehát, hogy B igaz legyen, ezért ¬B igaz”.

A példában az az állítás, hogy √2 ¬racionális. Feltettük, hogy racionális, ellentmondásra jutottunk, tehát ¬B (¬¬racionális [kettős negáció; = racionális]) igaz.

Ez a hamisból minden következik elve, vagyis ha egy állításban A és ¬A is levezethető, akkor az állítás hasznavehetetlen.

Olyan bizonyítási eljárás, melynek során az állítás igazságát belátjuk egy adott elemre, majd belátjuk az öröklődést. Részletesen a logika - teljes indukció alatt található információ, itt: teljes_indukció