16. Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek

Tétel: Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege 180˚.

Bizonyítás: A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög α szögéhez tartozó középponti szög 2α. Az α szöggel szemközti γ szöghöz tartozó középponti szög 2γ. Így 2α + 2γ = 360˚, vagyis α+γ = 180˚.

Tétel megfordítása: Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180˚, akkor az húrnégyszög.

Bizonyítás:

Az ABD háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy C erre illeszkedik. A kör BD húrja az A pontból α szög alatt látszik, C pontból pedig 180˚-α szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a BD húr 180˚-α szög alatt látszik, az ABD háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a BD-re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt ABCD négyszög konvex, így C csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz ABCD négyszö húrnégyszög.

(Az érintőnégyszög tételt esetleg áltlánosíthatjuk: egy húr 2n-szögben a „párosadik” oldalak összege egyenlő a „páratlanadik” oldalak összegével.

Ezen belül a húrtrapéz, mint tengelyesen (oldalfelező) szimmetrikus négyszög típus.

Középpontosan szimmetrikus.

Paralelogramma és szimmetrikus (húr) trapéz is - tengelyes és középpontos szimmetria

Az átlóra szimmetrikus.

Deltoid és paralelogramma - tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus

Rombusz és téglalap is → átlókra és oldalfelezőkre is szimmetrikus, középpontosan is szimmetrikus Forgásszimmetrikus

, ahol a,b,c,d a négyszög oldalai, pedig két szemközti szög összegének fele. http://hu.wikipedia.org/wiki/Bretschneider_formula

A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő. (Speciálisan téglalapra alkalmazva épp a Pitagorasz tételt kapjuk)