====== Binomiális eloszlás ======

**Definíció:**
Legyen //n// pozitív egész szám és //0<p<1//. Ekkor a
<m>p_k = (matrix{2}{1}{n k})p^k (1-p)^{n-k}, (k=0, cdots, n)</m>
számok //(n,p)// paraméterű binomiális eloszlást alkotnak. Jele: //B(n,p)//

**Alapfeladat:**
Mennyi a valószínűsége, hogy //n// db független kísérlet során a //p// valószínűségű esemény pontosan //k//-szor következik be.

===== Binomiális eloszlás várható értéke =====

**Tétel:**
Ha egy //X// valószínűségi változó //(n,p)// paraméterű binomiális eloszlású, akkor várható értéke //E(X)=np//.

**Bizonyítás:**

<m>E(X)=sum{k=0}{n}{k cdot p_k}=sum{k=1}{n}{k cdot p_k}=sum{k=1}{n}{k (matrix{2}{1}{n k}) p^k (1-p)^{n-k}}</m>

Felhasználva, hogy
<m>(matrix{2}{1}{n k})=n/k (matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}})</m>, azaz
<m>k (matrix{2}{1}{n k})=n (matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}})</m>

<m>E(X)=sum{k=1}{n}{n (matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}}) p^k (1-p)^{n-k}}</m>

Kiemelve //np//-t:

<m>E(X)=np sum{k=1}{n}{(matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}}) p^{k-1} (1-p)^{n-k}}</m>

azaz

<m>E(X)=np sum{k=1}{n}{(matrix{2}{1}{{n-1} {k-1}}) p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}}</m>

//i=k-1// helyettesítéssel:

<m>E(X)=np sum{i=0}{n}{(matrix{2}{1}{{n-1} i}) p^i (1-p)^{(n-1)-i}}=np sum{i=0}{n}{p_i}</m>

Itt az összeadandók az //(n-1, p)// paraméterű binomiális eloszlás tagjai, tehát összegük 1. Ezért //E(X)=np//.