====== 16. Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek ======
===== kör, érintő, húr, szelő =====
===== Kerületi és középponti szögek, látókör =====
===== A húrnégyszög tétel és megfordítása =====
**Tétel:**
Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege 180˚.
**Bizonyítás:**
A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög α szögéhez tartozó középponti szög 2α. Az α szöggel szemközti γ szöghöz tartozó középponti szög 2γ. Így //2α + 2γ = 360˚//, vagyis //α+γ = 180˚//.
**Tétel megfordítása:**
Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180˚, akkor az húrnégyszög.
**Bizonyítás:**
Az ABD háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy C erre illeszkedik. A kör BD húrja az A pontból α szög alatt látszik, C pontból pedig 180˚-α szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a BD húr 180˚-α szög alatt látszik, az ABD háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a BD-re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt ABCD négyszög konvex, így C csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz ABCD négyszö húrnégyszög.
===== Érintőnégyszögek tétele és megfordítása =====
(Az érintőnégyszög tételt esetleg áltlánosíthatjuk: egy húr 2n-szögben a "párosadik" oldalak összege egyenlő a "páratlanadik" oldalak összegével.
===== Négyszögek osztályozása =====
==== Trapéz ====
Ezen belül a húrtrapéz, mint tengelyesen (oldalfelező) szimmetrikus négyszög típus.
==== Paralelogramma ====
Középpontosan szimmetrikus.
==== Téglalap ====
Paralelogramma és szimmetrikus (húr) trapéz is - tengelyes és középpontos szimmetria
==== Deltoid ====
Az átlóra szimmetrikus.
==== Rombusz ====
Deltoid és paralelogramma - tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus
==== Négyzet ====
Rombusz és téglalap is -> átlókra és oldalfelezőkre is szimmetrikus, középpontosan is szimmetrikus
Forgásszimmetrikus
===== Tételek =====
==== Bretschneider formula ====
T=sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cdot cos^2 phi}, ahol //a,b,c,d// a négyszög oldalai, phi pedig két szemközti szög összegének fele.
[[http://hu.wikipedia.org/wiki/Bretschneider_formula]]
==== Ptolemaiosz tétele ====
A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő.
(Speciálisan téglalapra alkalmazva épp a [[matematika:geometria:Pitagorasz tétel]]t kapjuk)