EZ A CIKK CSONK! ----------------------------------- ====== 10. Számsorozatok és tulajdonságaik (korlátosság, monotonítás, konvergencia), nevezetes számsorozatok ====== ===== Sorozatok fogalma ===== Sorozatokkal már egész korán, az általános iskolai tanulmányok során találkozhattunk. Ki ne emlékezne olyan példákra, melyben egy pár taggal megadott számsor képzési szabályát kellett meghatározni. A középiskolában az általános iskolai szemléletes fogalmat pontos [[matematika:analízis:sorozatok|definíció]] váltotta fel. Ezután a sorozatokra, mint a [[matematika:analízis:függvények]] egy speciális csoportjára tekintettünk. ===== Sorozatok megadása ===== A precíz definíció bevezetése után a sorozatok megadására használt korábbi módszer - mely szerint a sorozatot az első néhány taggal adjuk meg - szintén nem állja meg a helyét. A sorozatok megadására a [[matematika:analízis:függvények#függvény megadása| függvények megadására]] vonatkozó feltételek vonatkoznak, annyi könnyebbséggel, hogy az értelmezési tartomány adott, így ennek megadásától eltekinthetünk. A leggyakrabban [[matematika:analízis:sorozatok#sorozatok megadása]] két módon történhet: * [[matematika:analízis:sorozatok#rekurzív módon]] * [[matematika:analízis:sorozatok#általános taggal]] ===== Sorozatok tulajdonságai ===== A sorozatok tulajdonságai alapvetően a [[matematika:analízis:függvények#függvények tulajdonságai]]nak speciális esetei, átfogalmazásai, bár kisebb különbségek lehetnek köztük (pl. [[matematika:analízis:határérték]]). ==== Korlátosság ==== [[matematika:analízis:sorozatok#korlátosság]] ==== Monotonitás ==== [[matematika:analízis:sorozatok#monotonitás]] ==== Konvergencia ==== [[matematika:analízis:sorozatok#konvergencia]] === A rendőr elv === **Tétel**:Ha (a_n) right A, (c_n) right A és forall n in bbN^{+}: a_n<=b_n<=c_n, akkor (b_n) right A. __Megjegyzés:__ Az utolsó feltétel helyett valójában elegendő, ha egy bizonyos küszöbindextől kezdeve teljesül az egyenlőtlenség, tehát:\\ exists N in bbN^{+}: forall n in bbN, n > N: a_n<=b_n<=c_n **Bizonyítás**:\\ Az //(a_n)// sorozatra a konvergencia definíciója miatt igaz, hogy:\\ forall epsilon>0 exists N_1: n>N_1 doubleright delim{|}{a_n-A}{|}\\ Ugyanígy //(c_n)//-re is:\\ forall epsilon>0 exists N_2: n>N_2 doubleright delim{|}{c_n-A}{|}\\ Legyen ekkor N=max(N_1,N_2) (a kettőből a nagyobb). Ekkor n>N esetén mindkét feltétel teljesül, azaz delim{|}{a_n-A}{|} és delim{|}{c_n-A}{|}\\ Tudjuk továbbá, hogy a_n<=b_n<=c_n. Vonjunk ki //A//-t:\\ a_n-A<=b_n-A<=c_n-A \\ a definíciókban lévő abszolútérték felbontásából:\\ delim{|}{a_n-A}{|} és: delim{|}{c_n-A}{|}\\ Amiből ebből fontos, hogy: -epsilon; Ezt visszaírjuk az 5 sorral feljebbi egyenlőtlenségbe:\\ -epsilonN azaz: -epsilon\\ ami egyenelő: delim{|}{b_n-A}{|}N \\ Ami annyit jelent, hogy //(b_n) konvergens és a határértéke //A.\\ Pár dolgot belejavítottam, de még kell lehet rajta finomítani... [bb] ====== Nevezetes sorozatok ====== ===== Számtani sorozatok ===== [[matematika:analízis:sorozatok#Számtani sorozatok]] ===== Mértani sorozat ===== [[matematika:analízis:sorozatok#Mértani sorozatok]] ===== Fibonacci-féle sorozat ===== [[matematika:analízis:sorozatok#Fibonacci-féle sorozat]] ====== Alkalmazások ====== * A pi közelítése * Kamatszámítás (mértani sorozatokkal) --- //[[szk@vmg.sulinet.hu|Szilágyi Kristóf]] 2007/05/13 11:42//