====== Gyökvonás, gyökfüggvények, hatványfüggvények és tulajdonságaik ======
**Négyzetgyök Fogalma**
__Def.__: - sqrt{a} az a nemnegatív valós szám, melynek négyzete a.\\
- Az //a// nem negatív valós szám négyzetgyöke az a //b// nem negatív valós szám, melyre b^2=a.
A definíció fontos következménye, hogy negatív szám négyzetgyökét nem értelmezzük a valós számok halmazán. Negatív szám négyzetgyökének értelmezése a számfogalom bővítését teszi szükségessé ([[komplex számok]]).
sqrt{a^2}=|a|, és általában sqrt{a^{2k}}=a^k ha k páros, és sqrt{a^{2k}}=|a^k|\\
----
**A Négyzetgyökvonás Azonosságai**\\
a;b;n in bbR^+
- sqrt{a}*sqrt{b}=sqrt{a*b}
- sqrt{a}/sqrt{b}=sqrt{a/b} b<>0
- {(sqrt{a})}^n=sqrt{a^n}
----
**Azonosságok Bizonyítása**
Azt használjuk fel, hogy ha két pozitív valós szám négyzete egyenlő, akor a két szám is egyenlő, valamint hogy az x right sqrt{x} függvény szigorúan monoton növekvő a nem negatív számok halmazán
- {(sqrt{a}*sqrt{b})}^2={(sqrt{a})}^2*{(sqrt{b})}^2=a*b=sqrt{{(a*b}}^2}~~~~sqrt{a}*sqrt{b}=sqrt{a*b}
- {sqrt{a}/sqrt{b}}^2={sqrt{a}}^2/{sqrt{b}}^2=a/b={sqrt{a/b}}^2~~~~sqrt{a}/sqrt{b}=sqrt{a/b} b<>0
- {(sqrt{a})}^n={sqrt{a}*sqrt{a}*...*sqrt{a}}under{n db}={sqrt{a*a*...*a}}under{n db}=sqrt{a^n}{({(sqrt{a})}^n)}^2=sqrt{a}^{2n}={({(sqrt{a})}^2)}^n=a^n
----
**N-edik Gyök Fogalma**
__Def.__:Legyen a valós szám, n>=2 egész szám.Ekkor root{n}{a}\\
- páros n kitevő esetén az a __nem negatív__ valós szám, melynek n-edik hatványa a~~(a>=0)~~({(root{2y}{a})}^{2y}=a)\\
- páratlan n kitevő esetén az a valós szám, melynek n-edik hatványaa~~(a in bbR)~~({(root{2y+1}{a})}^{2y+1}=a)
----
**N-edik Gyökvonás Azonosságai**\\
(páros n kitevő esetén)
- root{n}{a}*root{n}{b}=root{n}{ab}~~~a,b>=0,~~n in bbN,~~n>=2
- root{n}{a}/root{n}{b}=root{n}{a/b}~~~a>=0,~~b>0,~~n in bbN,~~n>=2
- {(root{n}{a})}^k=root{n}{a^k}~~~a>0,~~n in bbN,~~n>=2,~~k in bbZ
- root{n}{root{k}{a}}=root{nk}{a}~~~a>=0,~~n,k in bbN,~~n,k>=2
- root{n}{a^k}=root{nm}{a^{km}}~~~a>0,~~n,m in bbN,~~n,m>=2,~~m in bbZ
----
**Azonosságok Bizonyítása**
Az x right x^n és x right root{n}{x} függvények is szigorúan monoton növekvőek a nemnegatív számok halmazán, ezért megtehetjük, hogy az egyenlőség két oldalán álló kifejezések n-edik hatványát hasonlítjuk össze.
- {(root{n}{a}*root{n}{b})}^n=((root{n}{a})}^n*{(root{n}{b})}^n=a*b={(root{n}{ab})}^n
- {(root{n}{a}/root{n}{b})}^n={(root{n}{a})}^n/{(root{n}{b})}^n=a/b={(root{n}{a/b})}^n
- {({(root{n}{a})}^k)}^n={(root{n}{a})}^{kn}={({(root{n}{a})}^n)}^k=a^k={(root{n}{a^k})}^n
- {(root{n}{root{k}{a}})}^{nk}={({(root{n}{root{k}{a}})}^n)}^k={(root{k}{a})}^k=a={(root{nk}{a})}^{nk}
- {(root{n}{a^k})}^{nm}=({({root{n}{a^k})^n})}^m=(a^k)^m=a^{km}={(root{nm}{a^{km}})}^{nm}
----
**Gyökfüggvények**
Tekintsük meg a nem ngatív valós számok halmazán értelmezett~f(x)=sqrt{x} függvényt.
**kép**
A függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.0-tól + infty-ig szigorúan monoton növkvő.Zérushelye az x=0-ban van.\\
az f(x)=sqrt{x} és a g(x)=x^2~~(x>=0) egymásnak inverz függvénye.Grafikus képük az y=x függvényre tengelyesen szimmetrikus.\\
(Ha valamely függvénybeli hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, megtehetjük, hogy az értékkészlet és az értelmezési tartomány szerepét felcseréljük.Ekkor egy új függvényhez jutunk, melyet az eredti függvény inverzfüggvényének nevezünk.)
Ha n>=2 és páros: Az f(x)=root{n}{x} fügvény értelmzési tartománya a nem negatív valós számok halmaza, és értékkészlete szintúgy.A függvény 0-tól + infty-ig szigorúan monoton növekvő, zérushelye x=0-ban van.Inverze az x right x^n~~(x>=0) függvény.
**kép**
Ha n>1és páratlan: a g(x)=root{n}{x} függvény értelmezési tartománya és értékkészlete a valós számok halmaza.A függvény - infty-től + infty-ig szigorúan monoton nő, zérushelye x=0-ban van,szélsőértéke nincs.Mivel minden x-re g(x)=-g(-x), ezért az root{n}{x} gyökfüggvény páratlan n esetén paritását tekintve páratlan függvény.Grafikus képe az origóra középpontosan szimmetrikus.Inverze az x right root{n}{x} függvény.
**kép**
Ha n=1, akkor x right root{n}{x} függvény grafikus képe egyenes, mely - infty-től + infty-ig szigorúan monoton nő, zérushelye x=0-ban van.
----
**Hatványfüggvények**
Definiáljuk a valós számok halmazán értelmezett f(x)=x^n hatványfüggvényt.
Ha n=0, akkor konstans függvényt kapunk, amely az y tengely a (0;1) pontban metszi.
Ha n=1, akkor grafikus képe egyenes, mely - infty-től + infty-ig szig. mon. növekszik, zérushelye x=0-ban van.
Ha n<0, akkor a függvény grafikus képe hiperbola-szerű, ha n=-1, hiperbola.
Ha n=2, akkor akkor a függvény grafikus képe parabola.Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.Zérushelye x=0-ban van.- infty-től 0-ig szig. mon. csökken, 0-tól + infty-ig szig. mon. nő.Globális minimuma van x=0-ban, értéke 0.Inverze: x right sqrt{x} (x>=0 esetén)
**kép**
Általában az f(x)=x^n függvényt n-ed fokú hatványfüggvénynek nevezzük.
Ha n páros, akkor az értelmezési tartomány minden x elemére f(x)=f(-x), tehát a függvény paritását tekintve páros, grafikonja az y tengelyre tengelyesen szimmetrikus.Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.Zérushelye x=0-ban van.- infty-től 0-ig szig. mon. csökken, 0-tól + infty-ig szig. mon. nő.Globális minimuma van x=0-ban, értéke 0.Inverze: x right root{n}{x} (x>=0 esetén)
**kép**
Ha n páratlan, akkor az értelmezési tartomány minden x elemére f(x)=-f(-x), tehát páratlan függvény, képe az origóra középpontosan szimmetrikus.Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza.Zérushelye x=0-ban van.- infty-től + infty-ig szig. mon. nő.Szélsőértéke nincs, x=0-ban konvexitást vált, azaz ez a pont inflexiós pont.Inverze: x right root{n}{x}
**kép**
----
**Jelentősége/Alkalmazása**
Fizikában,Geometriában, mindennapi életben (paraboaltükör, parabola antenna)