====== 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban ======

===== Kúpszeletek =====

**Állítás:** Az //f: x -> 1/x// függvény grafikonja (//y=1/x// egyenletű görbe) hiperbola, melynek fókuszpontjai <m 10>F_1(sqrt{2},sqrt{2})</m> és <m 10>F_2(- sqrt{2},- sqrt{2})</m>, nagytengelye <m 10>2a=2 sqrt{2}</m>.

**Bizonyítás:**
Legyen a görbe egy pontja a <m 10>P(x,1/x)</m> pont.

Megmutatjuk, hogy <m 10>forall x<>0: ~ delim{|}{F_1P-F_2P}{|}=2a</m>.

Vegyük mindkét oldal négyzetét és bontsuk fel a baloldali zárójelet:
<m 10>overline{F_1P}^2+overline{F_2P}^2-2 overline{F_1P}overline{F_2P}=8</m>.

Felhasználva, hogy <m 10>F_1P=sqrt{(x-sqrt{2})^2+(1/x-sqrt{2})^2}</m>, illetve <m 10>F_2P=sqrt{(x+sqrt{2})^2+(1/x+sqrt{2})^2}</m> egyenletünk a következő képp alakul:

<m 10>(x-sqrt{2})^2+(1/x-sqrt{2})^2+(x+sqrt{2})^2+(1/x+sqrt{2})^2 - 2sqrt{(x-sqrt{2})^2+(1/x-sqrt{2})^2}sqrt{(x+sqrt{2})^2+(1/x+sqrt{2})^2}=8</m>

A zárójeleket felbontva, közös gyökjel alá hozva:

<m 10>2x^2+2 1/{x^2}+8-2 sqrt{x^2+1/{x^2}+4-2 sqrt{2}(x+1/x)} sqrt{x^2+1/{x^2}+4+2 sqrt{2}(x+1/x)}=8</m>

Mindkét oldalból kivonunk 8-at, egyszerűsítünk kettővel és a gyökös kifejezésre alkalmazzuk az //(a-b)(a+b)=a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>// azonosságot:

<m 10>x^2+1/{x^2}-sqrt{(x^2+1/{x^2}+4)^2-(2 sqrt{2}(x+1/x))^2}</m>

A gyökös kifejezést a jobb oldalra rendezzük, majd négyzetreemelünk:

<m 10>(x^2+1/{x^2})^2=(x^2+1/{x^2}+4)^2-8(x+1/x)^2</m>

Felhasználva, hogy <m 10>(x+1/x)^2=x^2+1/{x^2}+2</m>, az <m 10>x^2+1/{x^2} = A</m> helyettesítéssel:

<m 10>A^2 = (A+4)^2-8(A+2)</m>, ami a zárójelek felbontása után jól láthatóan azonosság.