====== Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), halmazok számossága ======
A téma tárgyalásának lehetséges felépítései:
* Középiskolai felépítés (természetes számokból kindulva a valós számokig, esetleg komplex számokig bővítjük a számfogalmat)
* Történeti áttekintés - a számfogalom fejlődése az őskortól napjainkig.
* Axiomtikus felépítés - A valós számok axiómarendszeréből kiindulva, a többi számhalmazt e halmaz nevezetes részhalmazaiként definiáljuk.
bővebben: [[matematika:halmazok:számhalmazok]]
===== Számhalmazok =====
==== Természetes számok halmaza ====
Jele: bbN\\
Pozitív egész számok és a 0.
==== Egész számok halmaza ====
Jele: bbZ\\
Természetes számok, és a negatív egész számok.
==== Racionális számok halmaza ====
Jele: bbQ\\
Azon számokat tartalmaz, amik felírhatók két egész szám hányadosaként.
==== Algebrai számok halmaza ====
Az **algebrai szám**ok olyan valós vagy komplex számok, amelyek gyökei valamely racionális együtthatós, nem csupa nulla polinomnak.
==== Irracionális számok halmaza ====
A nem racionális valós számokat **irracionális számok**nak nevezzük.
Jele: bbQ*\\
=== Tétel ===
**Állítás:** sqrt{2} nem racionális szám, azaz irracionális.
Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört.
Az irracionális számok halmaza két diszjunkt részhalmazara bontható:
* Algebrai irracionális számok: olyan irracionális szám, amely gyöke egy egész együtthatójú, nem csupa nulla polinomnak. (Pl: sqrt{2}) Ezek az euklideszi szerkesztési lépésekkel szerkeszthetőek.
* Transzcendens számok: Nem algebrai valós számok. pi, e
==== Valós számok halmaza ====
A racionális és irracionális számok halmazának egyesítését, azaz az egyenes pontjaihoz rendelt számok halmazát nevezzük **valós** számhalmaznak.
Jele: bbR = bbQ union bbQ*
A valós számok halmazának fő tulajdonságait **axiómákkal** írjuk körül.
==== Komplex számok halmaza ====
Jele: bbC
===== Halmazok számossága =====
[[matematika:halmazok:halmazok#számosság]]
==== Számosságok egyenlősége ====
==== Számosságok rendezése ====
==== Véges halmazok ====
==== Megszámlálható halmazok ====
==== Nem megszámlálható halmazok ====
====== Vita ======
A természetes számokat talán be lehetne úgy vezetni, hogy a megszámlálható halmazok számosságát nevezzük természetes számoknak (nemtudom ez mennyire precíz?
[Coldfire]
Ez kicsit a tyúk meg a tojás esete: mit is nevezel megszámlálható halmaznak? Ami ekvivalens a természetes számok valamelyrészhalmazával :)
Ha már nagyon precízkedni akarunk, akkor valami ilyesmi:
0 - Az üres halmaz (0) számossága
1 - Az üres halmazt mint elemet tartalmazó halmaz, azaz {0} számossága (az üres halmaz hatványhalmaza)
2 - {0,{0}} számossága
3 - {0,{0},{0,{0}}} számossága
Általában az //n//. halmaz tartalmazza az //n-1//. halamz elemeit és még az //n-1//. halmazt magát is.
Az így konstruálható halamzok számossága alkotja a természetes számok halmazát... De azért ezt a gondolatot nem vinném tovább :)\\
Más megközelítésben ezeket a halmazokat magukat nevezik 0,1,2...-nek. Ekkor persze a műveletek értelmezése jóval nehezebb...
[bb]
Sulineten volt azthiszem). Meg szerintem az összeadást meg szorzást lehetne értelmezni egzaktabbul (azaz egyáltalán értelmezni; diszjunkt halmazok uniójának és Descartes-szorzatának számosságával).
[Coldfire]
Hát lehet próbálkozni, igen. :)
[bb]
A halmazok számosságával az lesz a baj, hogy ha rendesen akarjuk tárgyalni akkor már bőven kimutat a középiskolai tananyagból a dolog, ha meg nem akkor kb. nincs semmi értelme és rövid is. Mindenesetre itt egy kis segédanyag (az index oldalt nem találtam :):
http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/halmaz99/
Tételnek pedig a kontinuum-hipotézis belátását ajánlom az experteknek ;)
[Coldfire]
A meglátás helyes, valóban nagyon messze mutat a számosságok világa. A fenti anyag is egyetemi jegyzet.
A kontinuum hipotézis bizonyítása meg csak megfelelő modell kérdése :)
Lásd: http://www.renyi.hu/~csirmaz/forszol/xf1.ps
[bb]