====== Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), halmazok számossága ====== A téma tárgyalásának lehetséges felépítései: * Középiskolai felépítés (természetes számokból kindulva a valós számokig, esetleg komplex számokig bővítjük a számfogalmat) * Történeti áttekintés - a számfogalom fejlődése az őskortól napjainkig. * Axiomtikus felépítés - A valós számok axiómarendszeréből kiindulva, a többi számhalmazt e halmaz nevezetes részhalmazaiként definiáljuk. bővebben: [[matematika:halmazok:számhalmazok]] ===== Számhalmazok ===== ==== Természetes számok halmaza ==== Jele: bbN\\ Pozitív egész számok és a 0. ==== Egész számok halmaza ==== Jele: bbZ\\ Természetes számok, és a negatív egész számok. ==== Racionális számok halmaza ==== Jele: bbQ\\ Azon számokat tartalmaz, amik felírhatók két egész szám hányadosaként. ==== Algebrai számok halmaza ==== Az **algebrai szám**ok olyan valós vagy komplex számok, amelyek gyökei valamely racionális együtthatós, nem csupa nulla polinomnak. ==== Irracionális számok halmaza ==== A nem racionális valós számokat **irracionális számok**nak nevezzük. Jele: bbQ*\\ === Tétel === **Állítás:** sqrt{2} nem racionális szám, azaz irracionális. Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört. Az irracionális számok halmaza két diszjunkt részhalmazara bontható: * Algebrai irracionális számok: olyan irracionális szám, amely gyöke egy egész együtthatójú, nem csupa nulla polinomnak. (Pl: sqrt{2}) Ezek az euklideszi szerkesztési lépésekkel szerkeszthetőek. * Transzcendens számok: Nem algebrai valós számok. pi, e ==== Valós számok halmaza ==== A racionális és irracionális számok halmazának egyesítését, azaz az egyenes pontjaihoz rendelt számok halmazát nevezzük **valós** számhalmaznak. Jele: bbR = bbQ union bbQ* A valós számok halmazának fő tulajdonságait **axiómákkal** írjuk körül. ==== Komplex számok halmaza ==== Jele: bbC ===== Halmazok számossága ===== [[matematika:halmazok:halmazok#számosság]] ==== Számosságok egyenlősége ==== ==== Számosságok rendezése ==== ==== Véges halmazok ==== ==== Megszámlálható halmazok ==== ==== Nem megszámlálható halmazok ==== ====== Vita ====== A természetes számokat talán be lehetne úgy vezetni, hogy a megszámlálható halmazok számosságát nevezzük természetes számoknak (nemtudom ez mennyire precíz? [Coldfire] Ez kicsit a tyúk meg a tojás esete: mit is nevezel megszámlálható halmaznak? Ami ekvivalens a természetes számok valamelyrészhalmazával :) Ha már nagyon precízkedni akarunk, akkor valami ilyesmi: 0 - Az üres halmaz (0) számossága 1 - Az üres halmazt mint elemet tartalmazó halmaz, azaz {0} számossága (az üres halmaz hatványhalmaza) 2 - {0,{0}} számossága 3 - {0,{0},{0,{0}}} számossága Általában az //n//. halmaz tartalmazza az //n-1//. halamz elemeit és még az //n-1//. halmazt magát is. Az így konstruálható halamzok számossága alkotja a természetes számok halmazát... De azért ezt a gondolatot nem vinném tovább :)\\ Más megközelítésben ezeket a halmazokat magukat nevezik 0,1,2...-nek. Ekkor persze a műveletek értelmezése jóval nehezebb... [bb] Sulineten volt azthiszem). Meg szerintem az összeadást meg szorzást lehetne értelmezni egzaktabbul (azaz egyáltalán értelmezni; diszjunkt halmazok uniójának és Descartes-szorzatának számosságával). [Coldfire] Hát lehet próbálkozni, igen. :) [bb] A halmazok számosságával az lesz a baj, hogy ha rendesen akarjuk tárgyalni akkor már bőven kimutat a középiskolai tananyagból a dolog, ha meg nem akkor kb. nincs semmi értelme és rövid is. Mindenesetre itt egy kis segédanyag (az index oldalt nem találtam :): http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/halmaz99/ Tételnek pedig a kontinuum-hipotézis belátását ajánlom az experteknek ;) [Coldfire] A meglátás helyes, valóban nagyon messze mutat a számosságok világa. A fenti anyag is egyetemi jegyzet. A kontinuum hipotézis bizonyítása meg csak megfelelő modell kérdése :) Lásd: http://www.renyi.hu/~csirmaz/forszol/xf1.ps [bb]