====== Halmazok ======

A matematikában a halmaz alapfogalom, ami azt jelenti, hogy nem definiálható. Ugyanakkor a halamzokkal szemben támasztott elvárásainkat [[matematika:logika:axioma rendszer]]rel írjuk le.

===== Naív halmazelmélet és paradokszonok =====

[[http://hu.wikibooks.org/wiki/Halmazelm%C3%A9let/Russell_t%C3%A9telei#A_regularit.C3.A1s_paradoxona|Russel paradoxon]]

===== Zermelo féle axiomarendszer =====

  * **Halmazaxióma (H)** Aminek eleme van az halmaz
  * **Extenzionalitás (E)** Különböző halmazoknak nem ugyanazok az elemei\\
Másképp: Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik ugyanazok, tehát kölcsönösen egymás részei.
  * **Szeparációs (vagy részhalamaz) axioma (S)** Bármely halmazon belül tetszőleges formula meghatároz egy részhalmazt\\
Azaz: Minden halmazra és minden F(x) formulához  LÉTEZIK egy B halmaz, amelyhez A-nak pontosan azok az x  elemei tartoznak, amelyekre F(x) igaz.
  * **Páraxióma (2)** Bármely két individuum halmazt alkot\\
Azaz: Bármely a,b dolgokhoz VAN olyan halmaz, amelynek ezek és csak ezek az elemei.
  * **Unio-axióma (U)** Bármely halmazelemeinek egyesítésével ismét halmazt kapunk\\
Ha egy A halmaz, amelynek elemei mind halmazok, akkor VAN olyan halmaz, amely pontosan azokat a dolgokat tartalmazza, amelyek A valamelyik elemének az elemei.
  * **Hatványhalmaz axióma (P)** Bármely halamz részhalmazainak összessége halmazt alkot
  * **Végtelenségi axióma (V)** Létezik monoton halmaz\\
azaz van olyan A halmaz, amelynek az üres halmaz eleme, és ha az x halmaz eleme A-nak, akkor U{x,{x}} is eleme A-nak.

A Páraxioma biztosítja, hogy biztosan legyen halamaz. Ha van legalább egy halmaz, akkor biztosan van üres halmaz is (S miatt - azonosan hamis formulával). Több elemű halmaz létezéséhez az Unio-axioma vezet. 


 * **Kiválasztási axióma (C)** Nemüres halmazok nemüres rendszerének Descartes-szorzata nem üres.\\
Azaz ha H olyan halmazrendszer, mely nem üres és egyik tagja sem üres, akkor létezik olyan (halmazelméleti) függvény, mely H-n értelmezett és H minden egyes X tagjához egy X-beli elemet rendel.
  * **A pótlás axiómája vagy a helyettesítés axiómája** Ha P(x,y) kétváltozós predikátum mely a halmazelmélet terminusaival megfogalmazható és egyértelmű az y változójában, továbbá H halmaz, akkor { y | 'x ∈ H és P(x,y)' } halmaz.\\
Azaz, legyen P függvényszerű abban az értelemben, hogy minden egyes x-hez egyetlen y létezik, mellyel P(x,y) fennáll, ekkor tekinthetjük azt a (nem halmazelméleti!) 'f(x)=y' függvényt, mely minden x-hez azt az egyetlen y-t rendeli, melyre P(x,y) teljesül. A pótlás axiómája azt mondja, hogy ekkor minden H halmaz f általi f(H) képe szintén halmaz.
  * **A regularitás axiómája vagy a fundáltság axiómája** Egy nemüres halmaznak mindig van olyan eleme, mellyel már nincs közös része.\\
Megjegyezzük, hogy ennek az axiómának következménye, hogy minden H halmaz esetén cáfolható az H ∈ H kijelentés, azaz minden H halmaz esetén H nem lehet eleme H-nak. Érdekesség, hogy ha nem tennénk fel ezt az axiómát, akkor létezhetne végtelen leszálló lánc az ∈ relációra vonatkozóan, például:

====== Linkek ======
  * [[http://phil.elte.hu/logic/idei_html/44651056.html]]
  * [[http://hu.wikipedia.org/wiki/Axiomatikus_halmazelm%C3%A9let#S6_V.C3.A9gtelens.C3.A9gi_axi.C3.B3ma]]