====== Egybevágósági transzformációk ======

**Definíció**: Egybevágósági transzformációnak nevezzük azokat a [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:geometriai_transzformacio]]kat, melyben bármely két pont távolsága egyenlő a képeik távolságával. Ezért az egybevágósági transzformációkat szokás [[matematika:geometria:transzformaciok:tavolsag_tarto]] transzformációknak is nevezni.

Bizonyítható, hogy az alábbiakon kívül nincs más egybevágósági transzformáció:
  * [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:tengelyes_tuekroezes]]
  * [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:identitas]] (helybenhagyás))
  * [[eltolás]]
  * [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:forgatas]]
  * [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:koezeppontos_tuekroezes]], mint a forgatás speciális esete
  * [[matematika:geometria:transzformaciok:csusztatva_tuekroezes]]

=== Mozgatás ===
A [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:iranyitastarto|körüljárástartó]] egybevágósági transzformációkat **mozgatás**oknak nevezzük.

==== Egybevágósági transzformációk felbontása ====

**Tétel:** Minden egybevágósági transzformáció felbontható legfelejebb három tengelyes tükrözés [[oktatas:matematika:geometria:transzformaciok:geometriai_transzformacio#transzformaciok_szorzasa|szorzatára]] (egymásutánjára).
Nevezetesen:
  * a tengelyes tükrözést nem kell felbontani
  * az identitás egy tetszőleges tengelyre való oda-vissza tükrözéssel állítható elő
  * az eltolás két egymással párhuzamos, az eltolás vektorára merőleges tengelyre való tükrözéssel állítható elő, melyek távolsága a vektor hosszának fele (a tengelyek sorendje nem  cserélhető fel!)
  * A forgatás két egymást a forgásközéppontban metsző egymással tengelyre való tükrözéssel állítható elő, melyek szöge a forgásszög fele (a szög irányított szög, a tengelyek sorrendje nem cserélhető fel)
  * A csúsztatva tükrözés két egymással párhuzamos és egy rájuk merőleges tengelyű tengelyes tükrözés szorzataként írható fel.

**Bizonyítás:**
Minden egybevágósági transzformáció megadható a síkban elhelyezett két **zászló**val.

A zászló ebben az esetben a következőt jelenti:
  * egy //P// pont (a zászló "csúcsa");
  * egy //P// kezdőpontú //f// félegyenes (a zászló "rúdja");
  * az //f// által határolt egyik félsík (a zászló "lobogója")


====== Feladatok ======

  * Milyen négyszöget alkot egy tetszőleges négyszög négy oldalfelező pontja?
  * Egy tetszőleges //ABC// háromszög //AB// és //BC// oldalára kifelé //AB//, illetve //BC// átfogójú, derékszögű, egyenlő szárú háromszögeket rajzolunk, melyek derékszögű csúcsa rendre //D// és //E//. A //CA// oldal felezőpontját jelölje //F//. Igazoljuk, hogy a //DEF// háromszög //F//-ben derékszögű, egyenlő szárú háromszög!
  * Az //ABC// háromszög oldalaira kifelé rajzoljunk szabályos háromszögeket, melyek középpontjai rendre //D//, //E// és //F//. Igazoljuk, hogy a //DEF// szabályos háromszög!
  * Az //ABC// háromszög //AB//, //BC// és //CA// oldalára kifelé rajzoljunk szabályos háromszögeket, melyek hiányzó csúcsait jelöljük rendre //D//, //E//, //F// betűkkel. Igazoljuk, hogy //AE//, //BD// és //CF// egyenlő hosszúak! Igazoljuk azt is, hogy páronként 60°-os szöget zárnak be egymással!
  * Egy adott //ABC// háromszög esetén a sík mely //P// pontjára lesz a //PA//+//PB//+//PC// összeg minimális? Igazoljuk, hogy a keresett //P// pont az előző feladatban leírt //AE//, //BD// és //CF// szakaszok közös metszéspontja! Mutassuk meg, hogy ebből a pontból a háromszög mindhárom oldala 120°-os szög alatt látszik! (A pont neve: izogonális pont.)
  * Adott egy hétszög hét oldalfelező pontja (<m>F_1, ..., F_7</m>). Szerkesszük meg a hétszög csúcsait!
  * Adott egy nyolcszög hét oldalfelező pontja (<m>F_1, ..., F_7</m>). Szerkesszük meg a nyolcadik oldalfelező pontot!
  * Mutassuk meg, hogy tetszőleges páros csúcsszámú sokszög esetén a sík bármely pontját a sokszög oldalfelező pontjaira tükrözve végül visszajutunk a kiindulópontba.
  * Az //ABC// háromszög //BC// és //CA// oldalaira, mint alapra, kifelé (vagy mindkettőt befelé) rakjuk a //BDC// ill. a //CEA// egyenlő szárú háromszögeket. A //D//-nél delta, az //E//-nél 180 fok mínusz delta szög legyen. Jelöljük //AB// felezőpontját //F//-fel. Bizonyítandó, hogy a //DEF// háromszögben //F//-nél derékszög, //D//-nél delta/2 szög van! (A 2. példa általánosítása!){{ :matematika:geometria:transzformaciok:feladat2.gif?direct&300 |}}
  * {{ :matematika:geometria:transzformaciok:feladat.gif?direct&300|}}Az //ABCD// húrnégyszögben (//AB//<//BC// és //AD//<//DC//) az //A//-ból a //B// belső szögfelezőjére állított merőleges messe //BC//-t //P//-ben, a körülírt kört //Q//-ban, hasonlóan a //D// belső szögfelezőjére állított merőleges //DC//-t //R//-ben, a kört //S//-ben. Igazolandó, hogy a //BS//, a //DQ// és a //PR// egyenesek egy pontban metszik egymást.
  * Legyen az elző. feladatban //F// a //PR// felezőpontja. Igazoljuk, hogy a //QSF// háromszögben //F//-nél derékszög van és //Q//-nál a //B//-nél lévő szög fele.
  * Osszunk fel egy //r// sugarú kört négy egyenlő területrészre! KIZÁRÓLAG KÖRZŐT használhatunk!
  *