====== Csúsztatva tükrözés ======

Más néven **csúszástükrözés**.

----
**Tétel:** Bármely három, nem feltétlenül különböző //a//, //b//, //c// egyenesre vonatkozó //cba// tükrözésszorzat (valódi vagy nem valódi) csúszástükrözés.

**Bizonyítás:**

Ha az egyenesek között van két azonos, úgy
  - //a=b// esetén //c(ba)=c(aa)=cI=c//;
  - //b=c// esetén //cba=(cb)a=(bb)a=Ia=a//;
  - //a=c// esetében pedig, ha //b*// jelöli a //b// egyenesnek az //a// egyenesre vonatkozó tükörképét, úgy //ba=ab*=cb*//, tehát //cba=c(ba)=c(cb*)=(cc)b*=Ib*=b*//, vagyis a most vizsgált esetekben igaz az állítás.

A továbbiakban feltesszük, hogy az egyenesek különbözőek. Ekkor kölcsönös helyzetüket tekintve vagy
  * van közöttük két párhuzamos, vagy
  * páronként metszik egymást.

Az első esetben az egyenesek vagy egymással párhuzamosak, vagy közülük pontosan két egyenes párhuzamos (és ezeket metszi a harmadik; 8. ábra).

{{ matematika:geometria:transzformaciok:3_tukrozes_1.gif |8. ábra}}

A második esetben a három egyenes vagy ugyanabban a pontban, vagy páronként különböző pontokban metszi egymást (9. ábra).

{{ matematika:geometria:transzformaciok:3_tukrozes_2.gif |9. ábra}}

Először azt fogjuk igazolni, hogy ha a három egyenes egy [[matematika:geometria:sugársor]]hoz tartozik (azaz párhuzamosak, vagy egy pontra illeszkednek), akkor //cba=d//, ahol a //d// egyenest ugyanaz az eltolás (ha //a// és //b// párhuzamosak), illetve forgatás (ha //a// és //b// metszők) viszi a //c// egyenesbe, mint az //a// egyenest a //b//-be.
E választásra ugyanis //ba//=//cd// __első négy tételünk__ miatt, és így
//c(ba)=c(cd)=(cc)d=Id=d//.


A még nem tárgyalt két esetet (két egyenesnek van közös pontja, ami mindhármójuknak nem pontja) egyszerre intézhetjük el.

{{ matematika:geometria:transzformaciok:csuszastukrozes.gif|10.ábra}}

A //b// egyenest az //a// és a //c// egyenesek legalább egyike metszi, különben három egymással párhuzamos egyenesünk lenne. Feltehetjük, hogy az //a// és a //b// egyenesek metszik egymást, mert ellenkező esetben az egymást metsző //b// és //c// egyenesekre szorítkozva ugyanúgy bizonyítanánk, mint így.
Legyen az //a// és //b// egyenesek közös pontja //M//, és illesszünk az //M//-re egy, a //c// egyenesre merőleges, //f// egyenest (10. ábra). Jelölje //e// azt az //M// ponton áthaladó egyenest , amelyet ugyanaz az //M// pont körüli forgatás visz az //f// egyenesbe, mint az //a// egyenest a //b//-be. E választásra //ba=fe//, vagyis (1) //c(ba)=(c(fe)=(cf)e//.

Jelölje //N// az egymásra merőleges //c// és //f// egyenesek közös pontját. Mivel a //cf// tükrözésszorzatot bármely két, egymást az //N//-ben metsző, merőleges egyenesre vonatkozó tükrözésszorzattal előállíthatjuk, ezért az ilyenek közül válasszuk meg azt a //g//, //h// párt, amelyre //h⊥e// teljesül. Ezzel a választással //cf=hg//, és (1) így alakul:
(2) //c(ba)=(cf)e=(hg)e=h(ge)//.

Az //e// és a //g// egyenesek párhuzamosak, hiszen ugyanarra az egyenesre, //h//-ra merőlegesek (és különböznek, mivel //e// az //M// pontra, //g// pedig az //M//-től különböző //N// pontra illeszkedik), azaz (2) valódi csúszástükrözés.

----
**Forrás:**
[[http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/siktraf/siktraf.htm|A szépség matematikája]] (Jakucs Erika és Pogáts Ferenc - Fazekas Mihály Gyakorlóiskola)